248 Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Κρήτης (Ηράκλειο)

Σκοπός

Το Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών αποτελεί το έκτο Τμήμα της Σχολής Θετικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Κρήτης και λειτουργεί από το ακαδημαϊκό έτος 1999 -2000. Η ίδρυσή του υπαγορεύτηκε από τις σύγχρονες απαιτήσεις για την παροχή υψηλού επιπέδου εκπαίδευσης και την ανάπτυξη της ερευνητικής υποδομής για τις εφαρμογές των Μαθηματικών στα προβλήματα που ανακύπτουν στην Τεχνολογία, στις Φυσικές και τις Οικονομικές Επιστήμες.

Το Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών φιλοδοξεί να συμβάλει στην καλλιέργεια ενός γνωστικού αντικειμένου αιχμής το οποίο ευρίσκεται στο επίκεντρο του επιστημονικού ενδιαφέροντος διεθνώς και στην δημιουργία αναγκαίου επιστημονικού υπόβαθρου για την τεχνολογική και οικονομική ανάπτυξη της χώρας μας. Θα συμβάλει στην κάλυψη της ανάγκης για επιστήμονες που θα συνδυάζουν καλή μαθηματική παιδεία, μεγάλη ικανότητα στην χρήση υπολογιστικών συστημάτων και στην ανάπτυξη λογισμικού, και εξειδίκευση στην επίλυση εφαρμοσμένων προβλημάτων που ανακύπτουν στις Τεχνολογικές, Φυσικές, Οικονομικές Επιστήμες και στην Ιατρική.

Η οργάνωση του Τμήματος Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ακολουθεί τα διεθνή πρότυπα. Για τον σκοπό αυτό το Πανεπιστήμιο Κρήτης έχει ορίσει Συμβουλευτική Επιτροπή ειδικών διεθνούς κύρους.

Οι απόφοιτοι του Τμήματος Εφαρμοσμένων Μαθηματικών θα αποκτούν ενιαίο Πτυχίο του Τμήματος με δυνατότητα επιλογής κατευθύνσεων στα:

Μαθηματικά Τεχνολογικών Επιστημών (π.χ. Σύγχρονα Υλικά, Ρύπανση, Πληροφορική)
Μαθηματικά Φυσικών Επιστημών (π.χ. Βιολογία, Ιατρική, Γεωεπιστήμες)
Επιχειρησιακά Μαθηματικά (π.χ. Επιχειρησιακή Έρευνα, Χρηματοοικονομία, Αναλογιστικά Μαθηματικά).

Σκοπός του Τμήματος Εφαρμοσμένων Μαθηματικών είναι η εκπαίδευση επιστημόνων ικανών όχι μόνον να υπηρετήσουν και να συμβάλουν στην ανάπτυξη της επιστήμης αλλά και να καλύψουν τις ανάγκες της αγοράς εργασίας σε υψηλού επιπέδου στελέχη τα οποία:
έχουν ικανότητα κατανόησης σε βάθος των προβλημάτων που σχετίζονται με το αντικείμενο ειδίκευσής τους
Θα έχουν ικανότητα συνδυασμού σκέψης διαφόρων γνωστικών αντικειμένων και επίγνωση της ύπαρξης κοινών Μαθηματικών Μοντέλων σε εντελώς διαφορετικές εφαρμογές
Θα γνωρίζουν κλασικές και σύγχρονες μεθόδους μαθηματικής ανάλυσης
Θα έχουν μεγάλη ικανότητα στην χρήση υπολογιστικών συστημάτων και στην ανάπτυξη λογισμικού.

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ

Α. Δομή Προγράμματος

Το πρόγραμμα σπουδών αποτελείται από τέσσερις  ομάδες μαθημάτων:  Βασικά Μαθήματα, Μαθήματα Κορμού, Μαθήματα Κατευθύνσεων και Μαθήματα Άλλων Επιστημών.

Οι ομάδες Βασικά Μαθήματα, Μαθήματα Κορμού και Μαθήματα Κατευθύνσεων είναι μαθήματα του Τ.Ε.Μ. (Τμήματος Εφαρμοσμένων Μαθηματικών) ενώ τα Μαθήματα Άλλων Επιστημών είναι κυρίως μαθήματα άλλων τμημάτων του Πανεπιστημίου.

Β. Απόκτηση Πτυχίου

1.      Εγγραφή και παρακολούθηση μαθημάτων για τουλάχιστον 8 εξάμηνα.

2.      Επιτυχής συμπλήρωση των απαιτήσεων της ειδίκευσης την οποία έχει επιλέξει.

3.      160 μονάδες εκ των οποίων τουλάχιστον 100 μονάδες από το Τ.Ε.Μ., 25 μονάδες από την ομάδα Μαθήματα Άλλων Επιστημών και σχετίζονται με την ειδίκευση, 20 από την Σχολή Θετικών Επιστημών και 15 από οποιαδήποτε σχολή του Πανεπιστημίου Κρήτης.

Γ. Μαθήματα του Προγράμματος

. Μαθήματα του Τ.Ε.Μ. (Τμήματος Εφαρμοσμένων Μαθηματικών)

Βασικά Μαθήματα

Εισαγωγή στους Η/Υ

Γραμμική Άλγεβρα Ι

Απειροστικός Λογισμός Ι

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Ανάλυση Ι

Ανάλυση ΙΙ

Εισαγωγή στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ι

Εισαγωγή στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Πιθανότητες

Αριθμητική Ανάλυση

Εισαγωγή στους Αριθμητικούς Αλγορίθμους

Μαθήματα Κορμού

Διακριτά Μαθηματικά

Θεωρία Αλγορίθμων

Λογική

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ

Ανάλυση Πολλών Μεταβλητών

Διαφορική Γεωμετρία

Γραμμικός & Μη-Προγραμματισμός

Λογισμός Μεταβολών

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου

Μιγαδικές Συναρτήσεις & Εφαρμογές

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Πραγματική Ανάλυση

Συναρτησιακή Ανάλυση

Μέθοδοι Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Ι

Μέθοδοι Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΙΙ

Εισαγωγή στα Κυματικά Φαινόμενα

Θεωρία Ρευστών

Υπολογιστική Ρευστομηχανική

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου

Αντίστροφα προβλήματα της Μαθηματικής Φυσικής

Στοχαστικές Ανελίξεις Ι

Στοχαστικός Ανελίξεις ΙΙ

Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Μαθηματική Προσομοίωση Ι

Μαθηματική Προσομοίωση ΙΙ

Αριθμητική επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων

Αριθμητική επίλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων

Θεωρία Προσεγγίσεως και Υπολογισμοί

Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα

Μαθήματα Κατευθύνσεων

Βιομαθηματικά Ι

Βιομαθηματικά ΙΙ

Θέματα Βιομαθηματικών

Μαθηματική Θεωρία Ρύπανσης του Περιβάλλοντος Ι

Μαθηματική Θεωρία Ρύπανσης του Περιβάλλοντος ΙΙ

Θέματα Περιβάλλοντος

Μαθηματική Γεωφυσική

Μαθηματική Σεισμολογία

Θέματα Ωκεανογραφίας

Μαθηματική Θεωρία Υλικών Ι

Μαθηματική Θεωρία Υλικών ΙΙ

Θέματα Μηχανικής Υλικών

Παράλληλη Επεξεργασία

Εισαγωγή στα Γραφικά Περιβάλλοντα Χρήσης

Θέματα Πληροφορικής

Μαθηματική Χρηματοοικονομία Ι

Μαθηματική Χρηματοοικονομία ΙΙ

ΕΜ389 Θέματα Χρηματοοικονομίας

2. Μαθήματα άλλων Επιστημών

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Μακροοικονομική Ι

Μικροοικονομική Ι

Μικροοικονομική ΙΙ

Χρηματοοικονομική Ανάλυση Ι

Χρηματοοικονομική Ανάλυση ΙΙ

Διεθνείς Χρηματοδότηση

Οικονομετρία Ι

Οικονομετρία ΙΙ

Οικονομετρία ΙΙΙ

ΦΥΣΙΚΗΣ

Φυσική Ι

Φυσική ΙΙ

Εισαγωγή στη Σύγχρονη Φυσική Ι

Εισαγωγή στη Σύγχρονη Φυσική ΙΙ

Εισαγωγή στην Γεωφυσική

Γεωφυσικές Ροές

ΧΗΜΕΙΑΣ

Υπολογιστική Περιβαλλοντική Χημεία

Γενική Χημεία Ι

Γενική Χημεία ΙΙ

Φυσικοχημεία ΙV

Χημεία Περιβάλλοντος

Υδατική Χημεία

Ατμοσφ. Χημεία

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Η ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Οργάνωση Υπολογιστών

Δομές Δεδομένων

Οντοκεντρικός Προγραμματισμός

Λειτουργικά Συστήματα

Γραφική Υπολογιστών

Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος

Δίκτυα Υπολογιστών

Θεωρία Πληροφορίας και Κωδικοποίησης

Δίκτυα Νευρωνικών Υπολογιστών

ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ

Βοτανική Ι

Μοριακή Βιολογία

Κλασσική Γενετική

Ζωολογία ΙΙ

Οικολογία

Μικροβιολογία

Εξέλιξη

Θαλάσσια Βιολογία

Εντομολογία

Αλιευτική Βιολογία

Θαλάσσια Οικολογία

Διαχείριση Οικοσυστημάτων

Δ. Πρότυπα Προγράμματα Σπουδών κατά Ειδίκευση

Ο αριθμός των μαθημάτων που θα πρέπει να εγγράφεται ο φοιτητής είναι πέντε ανά εξάμηνο. Πρέπει να σημειωθεί ότι το πρόγραμμα έχει ευέλικτη δομή και έτσι η επιλογή ειδίκευσης στο πρώτο έτος δεν είναι δεσμευτική.

Ι. ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ & ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ

(Κατεύθυνση: Μαθηματικά Τεχνολογικών και Φυσικών Επιστημών)

Υποχρεωτικά Μαθήματα για την απόκτηση πτυχίου είναι κατά κατηγορία τα εξής:

Βασικά Μαθήματα(51 μονάδες): Όλα

Μαθήματα Κορμού (40 μονάδες): Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ, Διακριτά Μαθηματικά, Θεωρία Αλγορίθμων, Αριθμητική Επίλυση Δ.Ε., Μέθοδοι Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Ι, Μέθοδοι Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΙΙ, Μαθηματική Προσομοίωση Ι, Μαθηματική Προσομοίωση ΙΙ

Μαθήματα Άλλων Επιστημών (26 μονάδες): Φυσική Ι, Δομές Δεδομένων, Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων και 3 (τρία) μαθήματα από τον κατάλογο της Πληροφορικής (σελίδα 6)

Μαθήματα Κατευθύνσεων (10 μονάδες): Παράλληλη Επεξεργασία, Γραφικά Περιβάλλοντα Χρήσης, ή Θέματα Πληροφορικής

ΙΙ. ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ:  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΠΟΙΩΣΗ & ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ

(Κατεύθυνση: Μαθηματικά Τεχνολογικών και Φυσικών Επιστημών)

Βασικά Μαθήματα (51 μονάδες): Όλα

Mαθήματα Άλλων Επιστημών (26 μονάδες): Φυσική Ι και οι υπόλοιπες από το αντίστοιχο κατάλογο (σελίδα 6) πλην μαθημάτων Οικονομικών Επιστημών

ΙΙΙ. ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ: ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

(Κατεύθυνση: Επιχειρησιακά Μαθηματικά)

ποχρεωτικά Μαθήματα για την απόκτηση πτυχίου είναι κατά κατηγορία τα εξής:

ασικά Μαθήματα (51 μονάδες): Όλα

Γραμμικός & μη Προγραμματισμός,
Μέθοδοι Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Ι,
Μέθοδοι Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΙΙ,
Αριθμητική Επίλυση Δ.Ε.,
Στατιστική,
Εφαρμοσμένη Στατιστική,
Στοχαστικές Ανελίξεις Ι,
Στοχαστικές Ανελίξεις ΙΙ

 Μαθήματα Κατευθύνσεων (10 μονάδες): Μαθηματική Χρηματοοικονομία Ι, Μαθηματική Χρηματοοικονομία ΙΙ, ή Θέματα Χρηματοοικονομίας

Δ. Ύλη των μαθημάτων

ΕΜ091 Εισαγωγή στους Η/Υ (5μ.)

Δομή και λειτουργία Η/Υ. Το λειτουργικό σύστημα UNIX και το παραθυρικό περιβάλλον WINDOWS. Το ηλεκτρονικό ταχυδρομείο και το διαδίκτυο. Σελιδομετρητές και μηχανές ψαξίματος του διαδικτύου. Η γλώσσα προγραμματισμού FORTRAN. Δομή και βασικές εντολές της γλώσσας. Εισαγωγή στο επιστημονικό κειμενογράφο LATEX. ΕΜ111 Γραμμική Άλγεβρα Ι (5μ.)  Γραμμικοί Χώροι, Γραμμικές απεικονίσεις, Πίνακες, Γραμμικές απεικονίσεις και πίνακες, Γραμμικά συστήματα, Ορίζουσες, Ευκλείδειοι χώροι, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα-Διαγωνιοποίηση πινάκων.

ΕΜ131 Απειροστικός  Λογισμός Ι (5μ.)

Ακολουθίες, Συναρτήσεις, Όρια συναρτήσεων, Συνέχεια, Παραγώγιση, Εφαρμογές της παραγώγισης, Παράγωγοι ανώτερης τάξης, Δυναμοσειρές, Ορισμένο ολοκλήρωμα συνεχών συναρτήσεων, Αριθμητική ολοκλήρωση, Αόριστο ολοκλήρωμα, Τεχνικές ολοκλήρωσης, Εφαρμογές της ολοκλήρωσης, Γενικευμένα ολοκληρώματα.

ΕΜ132 Απειροστικός ΙΙ (4μ., προαπ. ΕΜ131)

Καμπύλες, Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, Μερικές παράγωγοι, Μερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης, Μέγιστα και ελάχιστα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, Πεπλεγμένες συναρτήσεις, Διπλά ολοκληρώματα, Τριπλά ολοκληρώματα, Εφαρμογές.

ΕΜ141 Ανάλυση Ι (4μ., προαπ. ΕΜ131)

Πραγματικοί αριθμοί, Ακολουθίες, Συνέχεια συναρτήσεων, Εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις, Ομοιόμορφη συνέχεια, Ολοκλήρωμα Riemann, Παραγώγιση.

ΕΜ142 Ανάλυση ΙΙ (4μ., προαπ. ΕΜ141)

Τοπολογία του R, Μετρικοί χώροι, Συμπάγεια, Σειρές, Ακολουθίες συναρτήσεων, Θεώρημα Stone-Weierstrass, Σειρές συναρτήσεων, Γενικευμένα ολοκληρώματα.

ΕΜ151 Εισαγωγή στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ι (4μ., προαπ. ΕΜ132)

Διανυσματικός Λογισμός: Επικαμπύλια και Επιφανειακά ολοκληρώματα. Θεωρήματα Green-Gauss και Stokes και εφαρμογές των. Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις: Εξισώσεις πρώτης και δευτέρας τάξεως. Συστήματα πρώτης τάξεως. Εφαρμογές.

ΕΜ152 Εισαγωγή στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ  (5μ., προαπ. ΕΜ151)

Οι εξισώσεις της Μαθηματικής Φυσικής, (Laplace, θερμότητας, μεταφοράς, κυματική, Helmholtz, Maxwell, Schroedinger, Klein-Gordon, Dirac), Χωρισμός μεταβλητών και σειρές Fourier Ομοιθεμελιακές λύσεις (θεμελιώδης λύση της εξίσωσης θερμότητας, λύση Barenblatt, δ.ε. Burgers), οδεύοντα κύματα για εξισώσεις αντίδρασης-διάχυσης, ωστικά κύματα, σολιτόνια.

ΕΜ161 Πιθανότητες (5μ., προαπ. ΕΜ132, εγγραφή ΕΜ132)

Βασικές αρχές απαρίθμησης, διατάξεις, συνδυασμοί, μεταθέσεις, διωνυμικοί και πολυωνυμικοί συντελεστές, ανισότητες Bonferroni, τύπος Stirling. Τυχαία πειράματα, ενδεχόμενα, πιθανοσυνάρτηση, τύποι ολικής πιθανότητος και Bayes, ανεξαρτησία ενδεχομένων, ακολουθίες δοκιμών. Διακριτές τυχαίες μεταβλητές (δ.τ.μ.), ροπές και κατανομές, Διωνυμική, Poisson, Αρνητική Διωνυμική, Υπεργεωμετρική, Πολυωνυμική, Ανεξαρτησία δ.τ.μ., δεσμευμένες δ.τ.μ. και ροπές, αθροίσματα δ.τ.μ., Θεώρημα De Moivre-Laplace.

ΕΜ181 Αριθμητική Ανάλυση (5μ., προαπ. ΕΜ131, ΕΜ091)

Αριθμητική λύση μη γραμμικών εξισώσεων (μέθοδος διχοτόμησης γενική επαναληπτική μέθοδος, μέθοδος Newton και τέμνουσας). Αριθμητική ολοκλήρωση (μέθοδος τραπεζίου, Simpson, Gauss, ολοκλήρωση Romberg). Συστήματα εξισώσεων (Απαλοιφή Gauss για γραμμικά συστήματα, οδήγηση και εισαγωγή στην ευστάθεια συστημάτων και αλγορίθμων. Εισαγωγή σε επαναληπτικές μεθόδους. Η μέθοδος Newton για μη γραμμικά συστήματα). Παρεμβολή και προσέγγιση (παρεμβολή με πολυώμυνο Lagrange, παρεμβολή με τμηματικά γραμμικά και κυβικά πολυώνυμα, Splines, μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων).

ΕΜ191 Εισαγωγή στους Αριθμητικούς Αλγορίθμους (5μ., προαπ. ΕΜ091, ΕΜ131)

Κατασκευή και υλοποίηση αριθμητικών αλγορίθμων για την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων. Θα καλυφθούν θέματα από την επίλυση Γραμμικών Συστημάτων, Μη – Γραμμικών εξισώσεων, Αριθμητική Διαφόριση και ολοκλήρωση, Βελτιστοποίηση προβλημάτων Αρχικών Τιμών για Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. Εισαγωγή στη γλώσσα προγραμματισμού  C. Βασικές δομές και εντολές της γλώσσας καθώς και υλοποίηση συγκεκριμένων αλγορίθμων.

ΕM201 Διακριτά Μαθηματικά (5μ.)

Μέρος Α: Σύνολα και προτάσεις, Υπολογισιμότητα και τυπικές γλώσσες, Μεταθέσεις, συνδυασμοί και διακριτή πιθανότητα, Σχέσεις και συναρτήσεις, Διακριτές αριθμητικές συναρτήσεις και γεννήτριες συναρτήσεις, Άλγεβρες Boole. Μέρος Β: Γραφήματα και επίπεδα γραφήματα, Δένδρα και Σύνολα τομής, Μηχανές πεπερασμένων καταστάσεων, Ανάλυση αλγορίθμων, Αναδρομικές σχέσεις και αναδρομικοί αλγόριθμοι. 

ΕM202 Θεωρία Αλγορίθμων  (5μ., προαπ. ΕΜ201)

Μέρος  Α: Γλώσσες και πράξεις επί λέξεων, Τυπικές γραμματικές, Μηχανές πεπερασμένων καταστάσεων (ορισμοί, ισοδυναμία και μετασχηματισμοί μηχανών), Κανονικές γλώσσες και η σχέση τους με τις μηχανές πεπερασμένων καταστάσεων, Μηχανές Turing, Αναδρομικές συναρτήσει, Ανεπίλυτα προβλήματα. Μέρος Β: Πολυπλοκότητα: Χρονική (ομοιόμορφη και λογαριθμική), και χωρική, Κατασκευή αποτελεσματικών αλγορίθμων, Αλγόριθμοι ταξινόμησης και διάταξης, Αλγόριθμοι δυαδικής αναζήτησης και διαμέρισης, αλγόριθμοι σε γραφήματα, αλγόριθμοι για αριθμητικές πράξεις, Αναγωγή προβλημάτων, Προβλήματα ΝΡ, ΝΡ πλήρη προβλήματα, Αποδεδειγμένως μη πολυωνυμικά προβλήματα, φράγματα πολυπλοκότητας για αριθμητικές πράξεις.

ΕM205 Λογική (5μ.)

Προτασιακός Λογισμός: Ταυτολογικές συνεπαγωγές, τυπικές αποδείξεις, πληρότητα, επαρκή σύνολα συνδέσμων. Κατηγορηματικός Λογισμός: Λογικές συνεπαγωγές, τυπικές αποδείξεις, πληρότητα. Πρωτοβάθμιες θεωρίες. Απαλοιφή ποσοδεικτών. Στοιχεία θεωρίας μοντέλων.

ΕΜ211 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ (5μ., προαπ. ΕΜ111)

Έννοιες ομάδας, δακτυλίου, σώματος και άλγεβρας. Η άλγεβρα των πολυωνύμων. Μελέτη της άλγεβρας L(V) = Hom(V, V). Κυκλικοί υπόχωροι ενός διανυσματικού χώρου ως προς μια γραμμική απεικόνιση. Διάσπαση χώρου σε κυκλικούς χώρους ως προς ένα στοιχείο του L(V). Η μορφή Jordan. Θεώρημα Cayley-Hamilton. Ευκλείδειοι χώροι. Unitary και Συμπλεκτικοί χώροι.

ΕΜ224 Ανάλυση Πολλών Μεταβλητών (4μ., προαπ. ΕΜ142)

Διαφοροσιμότητα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Θεωρήματα αντιστρόφου και πεπλεγμένης συνάρτησης. Παράγωγοι ανώτερης τάξης. Αλλαγή μεταβλητής σε πολλαπλά ολοκληρώματα. Διαφορικές μορφές. Γενικό θεώρημα Stokes.

ΕΜ225 Διαφορική Γεωμετρία (5μ., προαπ. ΕΜ151)

Καμπύλες στον R3, Επιφάνειες στον R3, Καμπυλότητα, Εσωτερική γεωμετρία των επιφανειών.

ΕΜ231 Γραμμικός & Μη-Προγραμματισμός (5μ., προαπ. ΕΜ111, ΕΜ131, εγγραφή ΕΜ132)

Το πρόβλημα του Γραμμικού Προγραμματισμού και το δυϊκό του. Τα κύρια θεωρήματα του Γραμμικού Προγραμματισμού. Επεκτάσεις του θεωρήματος δυϊσμού. Παραδείγματα. Υπολογιστικές μέθοδοι για Γραμμικό Προγραμματισμό. Η μέθοδος simplex. Μη Προγραμματισμός. Κυρτός προγραμματισμός. Η μέθοδος κλίσεως των Arrow-Hurwicz. Η διανυσματική αρχή μεγίστου. Συζυγείς συναρτήσεις. Συζυγείς κυρτές συναρτήσεις. Θεώρημα δυϊσμού του μη- γραμμικού προγραμματισμού.

ΕΜ232 Λογισμός Μεταβολών (5μ., προαπ. ΕΜ231)

Αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη ακροτάτων συναρτησοειδών, εξισώσεις Euler-Lagrange. Φυσικές συνοριακές συνθήκες. Ισοπεριμετρικοί και πεπερασμένοι περιορισμοί. Η γενική μεταβολή ενός συναρτησοειδούς. Κανονικές αναπαραστάσεις, αρχή του Hamilton, ο μετασχηματισμός Legendre.

ΕΜ234  Θεωρία Βελτίστου Ελέγχου (5μ., προαπ. ΕΜ232)

Το Πρόβλημα του Βελτίστου Ελέγχου, αρχή του Rontryagin, παραδείγματα. Το πρόβλημα υπάρξεως και ιδιότητες συνεχείας των βελτίστων ελέγχων. Δυναμικός προγραμματισμός.

ΕΜ241 Μιγαδικές Συναρτήσεις & Εφαρμογές (5μ., προαπ. ΕΜ132, εγγραφή ΕΜ141, ΕΜ151)

Μιγαδικοί αριθμοί. Δυναμοσειρές. Τύπος Cauchy-Hadamar. Συνθήκες Cauchy-Riemann Αναλυτικές και αρμονικές συναρτήσεις. Στοιχειώδεις μιγαδικές συναρτήσεις. Κλασματικός-γραμμικός μετασχη-ματισμός. Ολοκλήρωμα. Θεώρημα του Cauchy. Θεώρημα του Morera. Σειρές αναλυτικών συναρτήσεων. Σειρές Taylor. Αρχή Μεγίστου. Θεώρημα του Liouville. Θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας. Σειρές Laurent. Μεμονωμένες ανωμαλίες. Ολοκληρωτικό υπόλοιπο και εφαρμογές του στον υπολογισμό ολοκληρωμάτων. Αρχή ορίσματος. Θεώρημα Rouche. Σύμμορφες απεικονίσεις. Αναλυτική συνέχιση. Εφαρμογές (αεροδυναμική, υδροδυναμική, θεωρία ελαστικότητας κ.λ.π. )

EM243 Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (4μ., προαπ. ΕΜ151)

Τοπική ύπαρξη (Θεωρήματα Picard-Lindelφf και Peano). Μοναδικότητα τοπικών και ολικών λύσεων. Επεκτασιμότητα λύσεων, έκρηξη λύσεων. Εξάρτηση λύσεων από παραμέτρους. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. Προβλήματα συνοριακών τιμών. Θεωρία των Sturm-Liouville (Ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις, ύπαρξη και μοναδικότητα). Ευστάθεια γραμμικών συστημάτων. Ευστάθεια μη γραμμικών συστημάτων (γραμμική ευστάθεια, ευστάθεια κατά Liapounov).

ΕΜ245 Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (4μ., προαπ. ΕΜ152)

Βασικά προβλήματα κλασικών ΜΔΕ, Εξίσωση θερμότητας, Εξίσωση Laplace, Κυματική Εξίσωση, Θεωρήματα Συγκρίσεως, Αρχή Μεγίστου, Μέθοδος Ενέργειας, Α-priori εκτιμήσεις.

ΕΜ247 Πραγματική Ανάλυση (4μ., προαπ. ΕΜ142)

Μετρήσιμες συναρτήσεις. Η έννοια «σχεδόν παντού». Θεώρημα Luzin. Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue. Θεωρήματα σύγκλισης. Σύγκριση με το ολοκλήρωμα Riemann. Χώροι L1, L2. Ολοκλήρωμα Riemann – Stieltjes.

ΕΜ249 Συναρτησιακή Ανάλυση (4μ., προαπ. ΕΜ142)

Γραμμικοί χώροι με νόρμα. Πληρότητα. Χώροι Banach. Χώροι Hilbert. Γραμμικοί τελεστές και συναρτησοειδή. Θεώρημα Hahn-Banach. Θεώρημα Riesz. Θεωρήματα Fredholm. Θεωρήματα σταθερού σημείου. Χώροι Sobolev.

ΕΜ251 Μέθοδοι Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Ι (5μ., προαπ. ΕΜ151)

Εξισώσεις Μαθηματικής Φυσικής (επανάληψη), Μέθοδοι θεωρίας διαταραχών (κανονικές διαταραχές, ιδιόμορφες διαταραχές, συναρμοσμένα ασυμπτωτικά αναπτύγματα),  Γεινευμένες σειρές Fourier, Χωρισμός μεταβλητών (σφαιρικές αρμονικές, συναρτήσεις  Bessel)

ΕΜ252 Μέθοδοι Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΙΙ (5μ., προαπ. ΕΜ251)

Ασυμπτωτική ανάλυση ολοκληρωμάτων (μέθοδος  Laplace, στάσιμη φάση), Ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί (Fourier, Laplace, Hankel, Μellin, κλπ.)

ΕΜ253 Εισαγωγή στα Κυματικά Φαινόμενα (5μ., προαπ. ΕΜ152)

Eισαγωγή: (Διάκριση μεταξύ υπερβολικών κυμάτων και κυμάτων διασποράς, Μη γραμμική διασπορά) Υπερβολικά κύματα: (Κύματα και ΜΔΕ 1ης τάξεως, Εξίσωση  Burger, Υπερβολικά συστήματα, Δυναμική των αερίων, Κυματική εξίσωση, Δυναμική των κυμάτων κρούσεως- Ασθενή κύματα κρούσεως) Κύματα διασποράς: (Γραμμικά κύματα με διασπορά, Γενική λύση ως ολοκλήρωμα Fourier, Ασυμπτωτική συμπεριφορά,  Ταχύτητα ομάδος, κυματικός αριθμός και εξισώσεις πλάτους, Διάδοση ενέργειας, Η μεταβολική προσέγγιση, Κυματοπακέτα, Επιφανειακοί κυματισμοί) Ασυμπτωτικές τεχνικές: (Προβλήματα πολλαπλών κλιμάκων, Μέθοδος  WKB  και παραβολική προσέγγιση, Ασυμπτωτικές λύσεις για μη γραμμικές εξισώσεις)

ΕΜ255 Θεωρία Ρευστών (5μ., προαπ. ΕΜ152)

Οι φυσικές ιδιότητες των ρευστών, Θεωρήματα διατήρησης, Εξισώσεις κίνησης, Περιστροφή και στροβιλοτητα ιδανικού ρευστού, Οι εξισώσεις  Navier-Stokes, Μονοδιάστατη ροή αερίων.

ΕΜ256 Υπολογιστική Ρευστομηχανική (5μ., προαπ. ΕΜ255)

Οι εξισώσεις της ρευστομηχανικής. Βασικές αρχές διακριτοποίησης, απλές τεχνικές και εργαλεία της Υ.Ρ. Αριθμητικές μέθοδοι για τους νόμους διατήρησης (πεπερασμένες διαφορές, πεπερασμένοι όγκοι). Αριθμητική επίλυση ημι-μονοδιάστατων ροών. Προσομοίωση ασυμπίεστων ροών.

ΕΜ257 Μηχανική των Συνεχών Μέσων (5μ., προαπ. ΕΜ151, εγγραφή ΕΜ152)

Γεωμετρία & κινηματική των συνεχών μέσων, θεωρήματα διατήρησης, καταστατικές εξισώσεις (ελαστικότητα - θερμοελαστικότητα - ρευστά). Γραμμικοποίηση και γραμμική ελαστικότητα, ενεργειακά θεωρήματα.

ΕΜ259 Αντίστροφα προβλήματα της Μαθηματικής Φυσικής (5μ., προαπ. ΕΜ152)

Διατύπωση των κλασσικών αντίστροφων προβλημάτων της Μαθηματικής Φυσικής. Παραδείγματα από την γεωφυσική, τη μηχανική των υλικών, τον ηλεκτρομαγνητισμό και την ιατρική. Ασθενώς τοποθετημένα προβλήματα και μέθοδοι κανονικοποίησης. Ολοκληρωτική γεωμετρία και τομογραφία. Προβλήματα αντίστροφης σκέδασης. Διακριτοποίηση και αντιστροφή διακριτών δεδομένων (ελάχιστα τετράγωνα, γενικευμένη αντιστροφή, μέγιστη πιθανοφάνεια, παραγοντοποίηση, φίλτρα). Αριθμητικός υπολογισμός για προβλήματα σεισμολογίας και ακουστικής τομογραφίας.

ΕΜ261 Στοχαστικές Ανελίξεις Ι (5μ., προαπ. ΕΜ132, ΕΜ161)

Σκοπός του μαθήματος είναι η εξοικείωση με βασικές δομές εξάρτησης, δειγματικές τροχιές και συγκεκριμένα μοντέλα ανελίξεων. Περιεχόμενο: (α) Παραδείγματα απλών στοχαστικών ανελίξεων (σ.α.), κατάταξη σ.α., δειγματικές τροχιές, κατανομές, έννοιες στασιμότητας και εργοδικότητα. (β) Αλυσίδες Markov (διακριτού χρόνου) : πιθανότητες μεταπηδήσεως, κατάταξη των καταστάσεων, περιοδικότητα, εργοδικότητα, απορρόφηση. (γ) Αλυσίδες Markov (συνεχούς χρόνου): ανελίξεις γεννήσεως-θανάτου, ομογενής ανέλιξη Poisson, χρόνοι αφίξεως, χρόνοι ανακοπής, σύνθετη ανέλιξη Poisson, μη ομογενείς ανελίξεις Poisson, οριακά θεωρήματα. (δ) Martingales, θεωρήματα συγκλίσεως. (ε) Ανανεωτικές ανελίξεις: ανανεωτική συνάρτηση, ανανεωτικές εξισώσεις, ανανεωτικά θεωρήματα, οριακά θεωρήματα. Επιλογές από θέματα στις ανελίξεις διαχύσεως, κλαδωτές ανελίξεις, ουρές.

ΕΜ262   Στοχαστικές Ανελίξεις ΙΙ (5μ., προαπ. ΕΜ261)

ΕΜ271 Στατιστική (5μ., προαπ. ΕΜ132, ΕΜ161)

Παραμετρικά στατιστικά μοντέλα, στατιστικά δείγματα, στατιστικές συναρτήσεις, επάρκεια στατιστικών συναρτήσεων, πληρότητα στατιστικών, κριτήρια απόδοσης στατιστικών μεθόδων, Παραμετρικοί χώροι, κατασκευή εκτιμητριών με τις μεθόδους των ροπών, μεγίστης πιθανοφάνειας, ελαχίστων τετραγώνων, Bayes και αμερόληπτες εκτιμήτριες ελαχίστης διασποράς. Ανισότητα Cramer-Frechet-Rao, απόδοση εκτιμητριών, ασυμπτωτική συμπεριφορά εκτιμητριών. Κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης. Έλεγχος υποθέσεων: είδη παραμετρικών υποθέσεων, μέγεθος, ισχύς και ρ-τιμή ελέγχων, έλεγχοι Neyman-Pearson, έλεγχοι πηλίκου πιθανοφανειών, ασυμπτωτική συμπεριφορά ελέγχων, σύνδεση ελέγχων και εκτιμητριών, κλασικά προβλήματα ελέγχων κανονικών πληθυσμών, έλεγχοι καλής εφαρμογής και έλεγχοι ανεξαρτησίας, μοντέλο γραμμικής παλινδρόμησης. Έννοιες από την απαραμετρική και ευσταθή στατιστική συμπερασματολογία.

ΕΜ272 Εφαρμοσμένη Στατιστική (5μ., προαπ. ΕΜ271)

Κανονικά δείγματα και σχετικές κατανομές, Εκτιμητική και έλεγχοι υποθέσεων γραμμικών μοντέλων και γενικεύσεις. Ανάλυση διασποράς. Χρήση στατιστικών υπολογιστικών πακέτων. Μέθοδοι γραφικής παράστασης στατιστικών δεδομένων, έλεγχοι κανονικότητας δειγμάτων, μετασχηματισμοί, εκτίμηση μοντέλων. Διερευνητική στατιστική, Παραδείγματα από τη Βιολογία, Ιατρική, Οικονομετρία κ.α.

ΕΜ281 Μαθηματική Προσομοίωση Ι (5μ., προαπ. ΕΜ151) ΕΜ282

Μαθηματική Προσομοίωση ΙΙ (5μ., προαπ. ΕΜ281)

 ΕΜ291 Αριθμητική Eπίλυση Δ.Ε. (5μ., προαπ. ΕΜ181)

Αριθμητική λύση του προβλήματος αρχικών τιμών για Σ.Δ.Ε.: Μέθοδοι Euler, Runge-Kutta, πολυβηματικές μέθοδοι. Συνέπεια, Ευστάθεια, Σύγκλιση. Μέθοδοι διαφορών και Galerkin για το συνοριακό πρόβλημα δύο σημείων. Εισαγωγή στην αριθμητική λύση Μ.Δ.Ε.

ΕΜ292 Αριθμητική Επίλυση Μ.Δ.Ε. (5μ., προαπ. ΕΜ181)

Μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών για το πρόβλημα δύο σημείων με διαφορές συνοριακές συνθήκες. Μέθοδοι διαφορών για την εξίσωση του Poisson Μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών για προβλήματα αρχικών και συνοριακών συνθηκών για δυναμικές ΜΔΕ. (παραβολικές, υπερβολικές, κ.λ.π.) για τις περιπτώσεις γραμμικών εξισώσεων με συντελεστές ανεξάρτητους του χρόνου ή εξαρτώμενους από τον χρόνο καθώς και για μη γραμμικές εξισώσεις.

ΕΜ295 Θεωρία Προσεγγίσεων και Υπολογισμοί (5μ., προαπ. ΕΜ181)

Βέλτιστες προσεγγίσεις. Ύπαρξη και μοναδικότητα. Υπολογισμός βέλτιστων προσεγγίσεων σε Ευκλείδειους χώρους. Κανονικές εξισώσεις και αναπτύγματα Fourier. Ορθογώνια πολυώνυμα. Ομοιόμορφη προσέγγιση, χαρακτηρισμός βέλτιστων προσεγγίσεων και υπολογισμός με την μέθοδο Remez. Παρεμβολή σε μια και δύο διαστάσεις. Παρεμβολή με splines. Προσεγγιστικές ιδιότητες των splines και εφαρμογές . Αριθμητική ολοκλήρωση κατά Gauss και ολοκλήρωση σε δύο διαστάσεις.

ΕΜ297  Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα(5μ., προαπ. ΕΜ181)

Νόρμες πινάκων και διανυσμάτων. Ευαισθησία των γραμμικών συστημάτων. Δείκτης κατάστασης πίνακα και σημασία του στη επίλυση γραμμικών συστημάτων . Η ανάλυση LU . Η ανάλυση σφάλματος της απαλοιφής Gauss. Θετικά ορισμένα συστήματα, συστήματα μπάντας και αραιά γραμμικά συστήματα. Επαναληπτικές μέθοδοι : Jacobi, Gauss-Sheidel, μέθοδος συζηγών κλήσεων, προρύθμιση. Ορθογώνιοτητα και ελάχιστα τετράγωνα. Η ανάλυση QR. Το πρόβλημα των ιδοτιμών, ιδιοδιανυσμάτων. Ο αλγόριθμος QR.