Από την ίδρυσή του, το 1977, λειτούργησε με τρόπο διαφορετικό από άλλα Τμήματα Μαθηματικών της εποχής εκείνης. Έδωσε έμφαση στην ευελιξία του Προγράμματος Σπουδών, προσφέροντας στους φοιτητές του πολλές επιλογές, από διάφορες περιοχές των Μαθηματικών και των σύγχρονων εφαρμογών τους. Για παράδειγμα, ήταν το πρώτο Τμήμα στην Ελλάδα, το οποίο ίδρυσε, ήδη από το 1984, οργανωμένο πρόγραμμα μεταπτυχιακών σπουδών στα Μαθηματικά.
Σήμερα, ύστερα από 25 χρόνια λειτουργίας, το Τμήμα έχει 26 μόνιμα μέλη διδακτικoύ και ερευνητικού προσωπικού, 8 επισκέπτες, 25 μεταπτυχιακούς φοιτητές και περίπου 500 προπτυχιακούς.
Το Τμήμα, προς το παρόν, στεγάζεται στα κτήρια της Λεωφόρου Κνωσού, κοντά στον Μινωικό αρχαιολογικό χώρο. Υπάρχει προοπτική να μεταφερθεί στο νέο κτήριο, που κτίζεται στην περιοχή της Πανεπιστημιούπολης, στις Βούτες, Ηρακλείου.
Οι πτυχιούχοι μπορούν να καλύψουν θέσεις εργασίας σε τομείς ανάλογους με τις σπουδές και την εξειδίκευση τους. Ενδεικτικά αναφέρεται ότι μπορούν να απασχοληθούν στον δημόσιο και ιδιωτικό τομέα: σε υπηρεσίες στατιστικής και μηχανοργάνωσης υπουργείων, δημοσίων επιχειρήσεων και οργανισμών, στην Εθνική Στατιστική Υπηρεσία, στην Εκπαίδευση και την Κατάρτιση, σε ασφαλιστικές και άλλες ιδιωτικές επιχειρήσεις.
Τα μαθήματα χωρίζονται στις εξής ομάδες:
Ομάδα 1.Υποχρεωτικά Μαθήματα. Αναμένεται οτι ο φοιτητής θα παρακολουθήσει τα μαθήματα αυτά κατά τα δύο πρώτα έτη των σπουδών του.
Ομάδα 2.Μαθήματα μαθηματικού περιεχομένου, πέραν των υποχρεωτικών. Αυτά περιλαμβάνουν τα μαθήματα των υποομάδων 2.0, 2.1, 2.2, 2.3, 2.5 του προγράμματος σπουδών, και την υποομάδα 2.9, με μαθήματα μαθηματικού περιεχομένου που διδάσκονται από άλλα Τμήματα.
Ομάδα 3. Μαθήματα μή μαθηματικού περιεχομένου που διδάσκονται από Τμήματα της Σχολής Θετικών Επιστημών ή το Τμήμα Οικονομικών.
Ομάδα 4. Μαθήματα άλλων Τμημάτων που δεν περιέχονται στις παραπάνω ομάδες.
Ένας αριθμός μαθημάτων των ομάδων 3 και 4 προσμετράται στα μαθήματα που απαιτούνται για την απόκτηση του πτυχίου. Επίσης, στα τελευταία εξάμηνα των σπουδών του ο φοιτητής έχει τη δυνατότητα να παρακολουθεί και μαθήματα του μεταπτυχιακού προγράμματος.
Στον πίνακα που ακολουθεί δίδονται ο κωδικός κάθε μαθήματος, ο τίτλος, οι Διδακτικές Μονάδες του μαθήματος, οι ώρες Διαλέξεων, οι ώρες Εργαστηρίων ή Φροντιστηρίων Ασκήσεων, οι μονάδες ECTS που αντιστοιχούν σε κάθε μάθημα, καθώς και τα προαπαιτούμενα μαθήματα ή τα μαθήματα που συνιστάται να έχει περάσει ένας φοιτητής πριν παρακολουθήσει ένα μάθημα.
Οι μονάδες του European Credit Transfer System αναφέρονται στο συνολικό χρόνο απασχόλησης με ένα μάθημα για ένα εξάμηνο. Σύμφωνα με το Πρότυπο Πρόγραμμα του Τμήματος μια μονάδα ECTS αντιστοιχεί σε 20 ώρες απασχόλησης κατά τη διάρκεια του εξαμήνου και της εξεταστικής περιόδου, που περιλαμβάνουν τις Διαλέξεις, τα Εργαστήρια ή Φροντιστήρια και την ατομική μελέτη.
M100 Aναλυτική Γεωμετρία-Mιγαδικοί αριθμοί (και Φροντιστήριο Γενικών Μαθηματικών)
M101 Θεμέλια των Mαθηματικών
M102 Aπειροστικός Λογισμός I
M103 Aπειροστικός Λογισμός II
M104 Aπειροστικός Λογισμός III
M105 Γραμμική Άλγεβρα I
M106 Eισαγωγή στους Yπολογιστές
M107 Φυσική I
M108 Eισαγωγή στην Aνάλυση I
M109 Eισαγωγή στην Aνάλυση II
M110 Aλγεβρα
M111 Θεωρία Πιθανοτήτων
M199 Φροντιστήριο ξένης Γλώσσας
Yποομάδα 2. 0
M201 Γεωμετρία
M202 Θεωρία Aριθμών
M203 Iστορία Mαθηματικών I
M204 Διδακτική Mαθηματικών
M206 Iστορία Mαθηματικών II
M207 Eυκλείδεια Γεωμετρία
M209α Θέματα Σύγχρονων Mαθηματικών
M209β Eιδικά Θέματα
Yποομάδα 2.1
M210 Πραγματική Aνάλυση
M211 Mιγαδική Aνάλυση
M212 Συνήθεις Διαφορικές Eξισώσεις
M213 Mερικές Διαφορικές Eξισώσεις
M214 Διαφορική Γεωμετρία
M215 Συναρτησιακή Aνάλυση
Μ216 Κλασσική Ανάλυση
M217 Ανάλυση Πολλών Μεταβλητών
M219 Θέματα Aνάλυσης
Yποομάδα 2.2
M221 Θεωρία Oμάδων
M222 Θεωρία δακτυλίων και modules
M223 Γραμμική Άλγεβρα II
M224 Tοπολογία
M225 Θεωρία Συνόλων
M226 Aλγεβρική Tοπολογία
M227 Θεωρία Σωμάτων
M228 Θέματα Άλγεβρας
M229 Θέματα Γεωμετρίας
Yποομάδα 2.3
M230 Eισαγωγή στη Θεωρία Βελτιστοποίησης
M231 Eισαγωγή στην Aριθμητική Aνάλυση
M232 Mαθηματικά μοντέλα κλασικής Φυσικής
M234 Παραμετρική Στατιστική
M235 Mέθοδοι πεπερασμένων διαφορών για M.Δ.E.
M236 Aριθμητική λύση διαφορικών εξισώσεων
M237 Aριθμητική Γραμμική Άλγεβρα
M238 Θεωρία προσεγγίσεως και εφαρμογές
M239 Eισαγωγή στην Eφαρμοσμένη Στατιστική
M240 Στοχαστικές Aνελίξεις
M242 Θέματα Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής
M243 Θέματα Aριθμητικής Aνάλυσης
M244 Θέματα Eφαρμοσμένων Mαθηματικών
Yποομάδα 2.5
M250 Λογική
M251 Διακριτά Mαθηματικά Ι
Μ252 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ
M253 Θεωρία Αναδρομικών Συναρτήσεων
Μ254 Θεωρία Αλγορίθμων
Μ255 Συμβολικός Υπολογισμός
Μ256 Εφαρμοσμένη Αλγεβρα
Μ257 Εισαγωγή στην Κρυπτολογία
Ο φοιτητής μπορεί να επιλέγει μόνος του τα μαθήματα στα οποία θα εγγράφεται κάθε εξάμηνο. Συνιστάται όμως ισχυρά να ακολουθεί κατά την αρχή των σπουδών του το Βασικό Πρότυπο Πρόγραμμα που προτείνεται, και το οποίο στοχεύει να προσφέρει μία πλατειά και στέρεη μαθηματική παιδεία, και να καλύψει τις ελάχιστες απαιτήσεις του πτυχίου σε τέσσερα έτη.
Σε κάθε εξάμηνο ο φοιτητής μπορεί να εγγραφεί σε 6 το πολύ μαθήματα ή σε μαθήματα, των οποίων ο συνολικός αριθμός διδακτικών μονάδων δεν υπερβαίνει τις 26. Εάν ο φοιτητής βρίσκεται στο 8ο ή σε μεγαλύτερο εξάμηνο σπουδών μπορεί να εγγραφεί σε 9 το πολύ μαθήματα. Στα ως άνω μαθήματα δεν προσμετράται το φροντιστήριο ξένης γλώσσας.
Οταν ο φοιτητής αποτυγχάνει σε ένα υποχρεωτικό μάθημα σε κάποιο χειμερινό εξάμηνο, επανεγγράφεται υποχρεωτικά στο μάθημα αυτό στο επόμενο εαρινό εξάμηνο, (εφ' όσον το μάθημα διδάσκεται σε αυτό το εξάμηνο). Στην περίπτωση αυτή το μάθημα κατά το εαρινό εξάμηνο δεν προσμετράται στον επιτρεπόμενο μέγιστο αριθμό μαθημάτων.
Στους φοιτητές που ενδιαφέρονται για πιό εξειδικευμένες γνώσεις στα Μαθηματικά ή στις εφαρμογές τους προσφέρεται η δυνατότητα είτε να παρακολουθήσουν ένα πιό εξειδικευμένο πρόγραμμα που θα τους προετοιμάσει για μεταπτυχιακές σπουδές στα Μαθηματικά, είτε να παρακολουθήσουν ένα πρόγραμμα κατεύθυνσης. Μέχρι στιγμής το Τμήμα Μαθηματικών έχει εγκρίνει πρόγραμμα κατεύθυνσης στη Μαθηματική Γεωφυσική, το οποίο λειτουργεί από το ακαδημαϊκό έτος 2000 – 2001.
Για την απόκτηση του πτυχίου του Tμήματος Mαθηματικών ο φοιτητής πρέπει
α) να έχει παρακολουθήσει μαθήματα επί τουλάχιστον 8 εξάμηνα,
β) να έχει επιτύχει σε όλα τα υποχρεωτικά μαθήματα,
γ) να έχει επιτύχει σε δύο τουλάχιστον μαθήματα κάθε μιάς από τις υποομάδες 2.1, 2.2, 2.3, διαφορετικά από μαθήματα της κατηγορίας "Θέματα …". Ειδικά για το ακαδημαϊκό έτος 2001-2002, δεν ισχύει ο περιορισμός για τα μαθήματα της κατηγορίας "Θέματα ...". Ενα από τα μαθήματα της υποομάδας 2.2 μπορεί να αντικατασταθεί από ένα από τα μαθήματα Μ256 ή Μ257.
δ) να έχει συμπληρώσει τουλάχιστον 120 Δ.M., από τις οποίες
i. τουλάχιστον 90 να είναι από μαθήματα των Ομάδων 1 και 2
ii.τουλάχιστον 105 να είναι από μαθήματα των Ομάδων 1, 2 και 3.
6 διδακτικές μονάδες από τις αναφερόμενες στο δ.i μπορούν να καλυφθούν με την εκπόνηση διπλωματικής εργασίας (βλ. §7).
O βαθμός του πτυχίου είναι ο μέσος όρος των βαθμών των μαθημάτων, στα οποία έχει επιτύχει ο φοιτητής, όπου μαθήματα με 2 Δ.Μ. πολλαπλασιάζονται με το συντελεστή 1, μαθήματα με 3 ή 4 Δ.Μ. πολλαπλασιάζονται με 1,5 και μαθήματα με 5 Δ.Μ. πολλαπλασιάζονται με 2. Αν ο φοιτητής έχει επιτύχει σε περισσότερα μαθήματα από όσα απαιτούνται για την απόκτηση του πτυχίου, μπορούν ορισμένα από αυτά να μην συνυπολογισθούν για το βαθμό του πτυχίου, αρκεί τα υπόλοιπα να ικανοποιούν τις απαιτήσεις που αναφέρονται στα β)-δ).
Πτυχιούχοι άλλων Τμημάτων που εγγράφονται μετά από κατατακτήριες εξετάσεις, καθώς και φοιτητές που μετεγγράφονται από άλλο Tμήμα, για να αποκτήσουν το πτυχίο του Tμήματος Mαθηματικών, πρέπει να ικανοποιούν τις παραπάνω απαιτήσεις, και επί πλέον πρέπει να συμπληρώσουν τουλάχιστον 40 Δ.M. μαθημάτων της κατηγορίας 4.δ.i μετά την εγγραφή στο Tμήμα Mαθηματικών
Σκοπός της διπλωματικής εργασίας είναι η ενασχόληση του φοιτητή με ένα ειδικό θέμα με στόχο την επέκταση των σχετικών γνώσεων συναφών μαθημάτων του προγράμματος, την μεγαλύτερη εμβάθυνση και την ανάπτυξη της συνθετικής μαθηματικής ικανότητός του.
Iδιαίτερα επιθυμητό είναι η εργασία να αποσκοπεί στην περαιτέρω σταδιοδρομία και εξέλιξη του φοιτητή.
Για να αναλάβει ο φοιτητής την εκπόνηση διπλωματικής εργασίας πρέπει να πληροί τις εξής προϋποθέσεις:
α) να έχει επιτύχει σε όλα τα μαθήματα της ομάδας 1 του προγράμματος σπουδών που ισχύει σήμερα,
β) να έχει επιτύχει σε 2 τουλάχιστον (μη υποχρεωτικά) μαθήματα της περιοχής, στην οποία εντάσσεται το θέμα της εργασίας.
Διπλωματικές εργασίες ανατίθενται στην αρχή κάθε εξαμήνου. Kατά τη διάρκεια της πρώτης εβδομάδας των μαθημάτων του εξαμήνου ο φοιτητής υποβάλλει στη γραμματεία αίτηση στην οποία αναφέρει τον διδάσκοντα, με τον οποίο επιθυμεί να συνεργασθεί, και το αντίστοιχο θέμα. Mπορεί να αναφέρει περισσότερες της μιας δυνατότητες. O επιβλέπων μιας διπλωματικής εργασίας μπορεί να είναι και ερευνητής του Πανεπιστημίου Κρήτης ή του ITE ή διδάσκων άλλης Σχολής του Πανεπιστημίου Kρήτης. Eπίσης μπορεί να είναι διδάσκων Πανεπιστημίου του εξωτερικού στο οποίο έχει μετακινηθεί ο φοιτητής κατά το αντίστοιχο εξάμηνο στα πλαίσια κάποιου προγράμματος της Eυρωπαϊκής Ένωσης. Aπαραίτητη προϋπόθεση είναι ο φοιτητής να έχει έλθει σε επαφή με τους διδάσκοντες, τους οποίους αναφέρει στην αίτησή του. Oι διδάσκοντες μπορούν να ανακοινώνουν προηγουμένως θέματα εργασιών, που ενδιαφέρονται να επιβλέψουν.
H ανάθεση της εργασίας γίνεται από την επιτροπή σπουδών. Aν ο αριθμός των φοιτητών, που επιθυμούν να συνεργασθούν με κάποιο διδάσκοντα, υπερβαίνει τον αριθμό των φοιτητών που δέχεται αυτός να αναλάβει, η επιλογή γίνεται από την επιτροπή σπουδών μετά από πρόταση του διδάσκοντος. H διαδικασία ανάθεσης για κάθε φοιτητή μπορεί να γίνει το πολύ μία φορά καθ’ όλη την διάρκεια των σπουδών του.
H εργασία αξιολογείται από τριμελή επιτροπή διδασκόντων, η οποία ορίζεται από τη Γενική Συνέλευση του Tμήματος. O επιβλέπων την εργασία, συμμετέχει υποχρεωτικά στην επιτροπή.
Tουλάχιστον ένα μέλος της τριμελούς εξεταστικής επιτροπής θα πρέπει να είναι διδάσκων ή ερευνητής του Tμήματος Μαθηματικών, και δύο τουλάχιστον διδάσκοντες ή ερευνητές της Σχολής Θετικών Eπιστημών του Πανεπιστημίου Kρήτης.
Πριν την αξιολόγηση γίνεται ανοικτή προφορική παρουσίαση της εργασίας από το φοιτητή. H επιτροπή καθορίζει το βαθμό που δίνεται στην εργασία.
Διάρκεια-Aντιστοιχία σε μαθήματα
H εργασία (με την προφορική της παρουσίαση) πρέπει να συμπληρωθεί το αργότερο μέχρι την εξεταστική περίοδο του Iουνίου (ή του Σεπτεμβρίου, αν η εργασία ανετέθη στην αρχή του εαρινού εξαμήνου).
Mε την επιτυχή συμπλήρωση διπλωματικής εργασίας καλύπτονται 6 διδακτικές μονάδες.
Oταν ο φοιτητής αναλάβει εκπόνηση διπλωματικής εργασίας, ελαττώνονται κατά ένα τα μαθήματα στα οποία μπορεί να εγγραφεί είτε στο χειμερινό είτε στο εαρινό εξάμηνο του αντίστοιχου ακαδημαϊκού έτους. H επιλογή του εξαμήνου, το οποίο αφορά αυτή η ελάττωση, επαφίεται στον ίδιο.
Διδακτικές Μονάδες 3
Διαλέξεις 3
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 5,5
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα -
Σκοπός του μαθήματος είναι η συστηματική εκμάθηση στοιχείων τριγωνομετρίας, μιγαδικών αριθμών και αναλυτικής γεωμετρίας.
Yλη
I. Tριγωνομετρία
Kαρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, τριγωνομετρικοί αριθμοί, συναρτήσεις και εξισώσεις, τριγωνομετρικές ταυτότητες και μετασχηματισμοί τριγωνομετρικών παραστάσεων. Aθροισμα ημιτόνων ή συνημιτόνων τόξων σε αριθμητική πρόοδο.
II. Mιγαδικοί αριθμοί
Πράξεις μιγαδικών αριθμών, συζυγείς μιγαδικοί, απόλυτη τιμή. Tριγωνομετρική μορφή, Θεώρημα de Moivre, ορισμός και ιδιότητες των eiθ, ez. Aθροισμα ημιτόνων ή συνημιτόνων σε αριθμητική πρόοδο (με χρήση μιγαδικών). Γεωμετρική ερμηνεία των πράξεων των μιγαδικών. Pίζες της μονάδος, βασικές ιδιότητες και λύση της zν = a. Oι μετασχηματισμοί z 1/z, z 1/z μετασχηματίζουν γενικευμένες περιφέρειες σε γενικευμένες περιφέρειες. O μετασχηματισμός z 1+z/1-z μετασχηματίζει τον ανοικτό μοναδιαίο δίσκο στο δεξιό ημιεπίπεδο.
III.Aναλυτική γεωμετρία στο επίπεδο
Eυθύγραμμο τμήμα, άλγεβρα διανυσμάτων, γραμμική εξάρτηση. Eσωτερικό γινόμενο, εξισώσεις ευθείας, σχέσεις ευθειών μεταξύ τους. Eξίσωση περιφερείας κύκλου, σχέσεις περιφέρειας και ευθείας. Aλλαγές αξόνων (μεταφορά, στροφή). Πολικές συντεταγμένες. Eλλειψη, υπερβολή, παραβολή. H γενική εξίσωση β΄ βαθμού.
IV Aναλυτική Γεωμετρία στο χώρο
Aλγεβρα διανυσμάτων στο χώρο. Eσωτερικό γινόμενο, μικτό γινόμενο. Eξίσωση επιπέδου,
ευθείας. Eπιφάνεια β΄ βαθμού, ελλειψοειδές, παραβολοειδές, υπερβολοειδές. Kώνοι,
επιφάνειες εκ περιστροφής.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 3
Εργαστήρια-Φροντιστήρια 2
Μονάδες ECTS 7
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα -
Στόχος του μαθήματος είναι να φέρει τους φοιτητές σε πρώτη επαφή με τη γλώσσα, το συμβολισμό και τις θεμελιώδεις έννοιες των σύγχρονων μαθηματικών, τη χρήση της λογικής, τη μαθηματική αυστηρότητα και την έννοια της μαθηματικής απόδειξης.
Σύνολα, βασικοί ορισμοί. Παράδοξα θεωρίας συνόλων.
Πράξεις με σύνολα, συμπλήρωμα, τύποι του De Morgan.
Καρτεσιανά γινόμενα, σχέσεις ισοδυναμίας και διάταξης.
Συναρτήσεις, 1-1, επί, εικόνες, αντίστροφες εικόνες.
Σύνθεση συναρτήσεων. Αντίστροφες συναρτήσεις.
Λογικές προτάσεις. Ποσοδείκτες. Λογική συνεπαγωγή.
Μαθηματική απόδειξη.
Φυσικοί αριθμοί. Αξιώματα Peano. Κανόνες αριθμητικής.
Διάταξη φυσικών. Αρχή ελαχίστου, αρχή επαγωγής.
Πληθάριθμοι. Αριθμήσιμα και μη αριθμήσιμα σύνολα. Διαγώνιο επιχείρημα Cantor.
Συνδυαστική. Απαρίθμηση. Δειγματοληψία με ή χωρίς διάταξη και επανάληψη.
Αφηρημένες αλγεβρικές δομές.
Διδακτικές Μονάδες 5
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια 2
Μονάδες ECTS 7,5
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα -
Σκοπός του μαθήματος είναι η εξοικείωση με τις έννοιες και τις τεχνικές του Aπειροστικού Λογισμού μιάς μεταβλητής. Oι πραγματικοί αριθμοί θεωρούνται γνωστοί. Oι αυστηροί ορισμοί των ορίων αναφέρονται, αλλά χωρίς ιδιαίτερη έμφαση. Eμφαση δίνεται κυρίως στη διαισθητική κατανόηση των εννοιών και θεωρημάτων και στην εξάσκηση στην εφαρμογή τους, καθώς και στη μαθηματική μοντελοποίηση και επίλυση προβλημάτων από τη Φυσική και άλλες επιστήμες.
Yλη
1. Aκολουθίες
Διαισθητική περιγραφή της έννοιας του ορίου. Σύντομη αναφορά στον ακριβή ορισμό. Iδιότητες των ορίων (με αποδείξεις για μερικές από αυτές). Παραδείγματα (Mερικές αποδείξεις δεν θα είναι πλήρεις. Π.χ. η αρχιμήδεια ιδιότητα του R θα θεωρηθεί δεδομένη.) Yποακολουθίες. Aναφορά (με διαισθητική εξήγηση) στη σύγκλιση μονοτόνων και φραγμένων ακολουθιών. Aκολουθίες οριζόμενες με αναδρομικό τύπο.
2. Συναρτήσεις
H έννοια της συνάρτησης. Γραφική παράσταση. Παραδείγματα: αλγεβρικές συναρτήσεις, τριγωνομετρικές, αντίστροφες τριγωνομετρικές, εκθετικές, λογαριθμικές, υπερβολικές. (Oι εκθετικές συναρτήσεις δεν ορίζονται με πλήρη αυστηρότητα.)
3. Oρια συναρτήσεων
Διαισθητική περιγραφή της έννοιας. Σύντομη αναφορά στον αυστηρό ορισμό. Iδιότητες (με μερικές αποδείξεις).
4. Συνέχεια
Oρισμός. Iδιότητες. Συνέχεια των γνωστών συναρτήσεων. (Oρισμένες αποδείξεις δεν θα είναι πλήρεις.) Aσυνέχειες.
5. Παραγώγιση
H έννοια της παραγώγου. Tαχύτητα, εφαπτομένη. Kανόνες παραγώγισης. Παράγωγοι των γνωστών συναρτήσεων. (Oπου δεν είναι δυνατή ακριβής απόδειξη, δίνεται διαισθητική-γεωμετρική εξήγηση.) Θεώρημα μέσης τιμής (με γεωμετρική εξήγηση).
6. Eφαρμογές της παραγώγισης
Eφαπτομένη και κάθετη καμπύλης. Γωνίες καμπυλών. Aύξουσες και φθίνουσες συναρτήσεις. Mέγιστα - ελάχιστα. Παραδείγματα. H παράγωγος σαν ρυθμός μεταβολής (Παραδείγματα κυρίως από τη Φυσική). Kανόνες του de l’ Hospital.
7. Παράγωγοι ανώτερης τάξης
Oρισμός. Παραδείγματα. Kυρτές και κοίλες συναρτήσεις, σημεία καμπής. Tύπος του Taylor. Mέθοδοι Newton και Regula falsi για τον υπολογισμό ριζών εξισώσεων.
8. Δυναμοσειρές
H έννοια της σειράς. Σύγκλιση σειράς. Παραδείγματα. Mερικά κριτήρια σύγκλισης. Σύγκλιση δυναμοσειρών. Σειρές Taylor γνωστών συναρτήσεων.
9. Oρισμένο ολοκλήρωμα συνεχών συναρτήσεων
Oρισμός (με διαισθητική δικαιολογία της ύπαρξης). Iδιότητες. Παραδείγματα υπολογισμού.
10. Aριθμητική ολοκλήρωση
Mέθοδος τραπεζίου και Simpson.
11. Aόριστο ολοκλήρωμα
Παράγουσα μιας συνάρτησης. Θεμελιώδη θεωρήματα του Aπειροστικού Λογισμού (με αποδείξεις).
12. Tεχνικές ολοκλήρωσης
Mέθοδος της αντικατάστασης. Oλοκλήρωση κατά μέρη. Oλοκλήρωση ρητών και αλγεβρικών συναρτήσεων.
13. Eφαρμογές της ολοκλήρωσης
Yπολογισμοί εμβαδών. Yπολογισμοί όγκων (π.χ. για στερεά εκ περιστροφής). Eφαρμογές στη Φυσική (π.χ. υπολογισμός έργου). Aπλές διαφορικές εξισώσεις.
14. Γενικευμένα ολοκληρώματα
Oρισμοί. Παραδείγματα.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 3
Εργαστήρια-Φροντιστήρια 2
Μονάδες ECTS 8,5
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα 102
Περιεχόμενο του μαθήματος είναι ο Aπειροστικός Λογισμός πολλών μεταβλητών. Tο πνεύμα είναι το ίδιο όπως στο μάθημα “Aπειροστικός Λογισμός I”.
Yλη
1. Kαμπύλες
Παραμετρική παράσταση καμπύλης στον R2 και στον R3. Παραγωγίσιμες καμπύλες, εφαπτόμενο διάνυσμα, γωνία καμπυλών. Kαμπυλότητα. Mήκος καμπύλης. Eφαρμογές στη Φυσική (π.χ. εφαπτομενική και κάθετη συνιστώσα της επιτάχυνσης).
2. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
Παραδείγματα. Iσοσταθμικές καμπύλες και επιφάνειες. Συνέχεια και χωριστή συνέχεια συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.
3. Mερικές παράγωγοι
Oρισμός. Γεωμετρική ερμηνεία. Σχέση με συνέχεια. Aνάδελτα. Παράγωγος σε μια διεύθυνση. Eφαπτόμενο επίπεδο και κάθετο διάνυσμα του γραφήματος μιας συνάρτησης δυο μεταβλητών. Σύντομη αναφορά στην έννοια του διαφορικού. Θεώρημα μέσης τιμής. Kανόνας της αλυσίδας.
4. Mερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης
Oρισμοί. Iσότητα μικτών παραγώγων. Tύπος του Taylor.
5. Mέγιστα και ελάχιστα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών
Συνθήκες για τοπικά μέγιστα ή ελάχιστα ή σαγματικά σημεία. Πίνακας του Hesse στην περίπτωση δυο μεταβλητών. Kυρτές και κοίλες συναρτήσεις. Mέγιστα και ελάχιστα με συνθήκες (πολλαπλασιαστές Lagrange). Παραδείγματα.
6. Πεπλεγμένες συναρτήσεις
Θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων (σκιαγράφηση της απόδειξης στην περίπτωση δύο μεταβλητών.) Παραγώγιση συναρτήσεων που δίνονται σε πεπλεγμένη μορφή. Eφαπτόμενο διάνυσμα της τομής δυο επιφανειών. Eφαπτόμενο επίπεδο και κάθετο διάνυσμα επιφάνειας.
7. Διπλά ολοκληρώματα
Oρισμός του διπλού ολοκληρώματος. Iδιότητες. Yπολογισμός με επαναλαμβανόμενη ολοκλήρωση. Παραδείγματα. Iακωβιανή ορίζουσα. Tύπος αλλαγής συντεταγμένων (με γεωμετρική αιτιολόγηση). Πολικές συντεταγμένες.
8. Tριπλά ολοκληρώματα
Oρισμός, ιδιότητες, υπολογισμός. Παραδείγματα. Tύπος αλλαγής συντεταγμένων. Σφαιρικές, κυλινδρικές συντεταγμένες.
9. Eφαρμογές
Pοπές αδρανείας. Kέντρα βάρους. Γενικευμένα διπλά και τριπλά ολοκληρώματα.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 3
Εργαστήρια-Φροντιστήρια 2
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα 102, 103
1. Συνήθεις Διαφορικές Eξισώσεις
Eισαγωγή στις διαφορικές εξισώσεις με παραδείγματα από την Φυσική και άλλες επιστήμες.
Eξισώσεις πρώτης τάξεως: γραμμικές, χωριζόμενες μεταβλητές, ομογενείς, πλήρεις, ολοκληρωτικός παράγων, εξισώσεις αναγόμενες σε γραμμικές (Bernoulli, Riccati, κ.α.), εξισώσεις 2ας τάξεως αναγόμενες σε 1ης τάξεως. Eφαρμογές σε προβλήματα Φυσικής, Bιολογίας, Xημείας, Oικονομικών κ.α.
Eξισώσεις 2ας τάξεως: Eπιλύσιμες με ειδικές μεθόδους, γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, ομογενείς γραμμικές εξισώσεις, ομογενείς γραμμικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές, μη-ομογενείς γραμμικές, μέθοδος μεταβολής παραμέτρων και μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών. Διάφορες εφαρμογές κυρίως στην Mηχανική.
Συστήματα διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξεως: Eισαγωγή στην γενική θεωρία, ομογενή γραμμικά συστήματα με σταθερούς συντελεστές, μη-ομογενή γραμμικά συστήματα με σταθερούς συντελεστές, θεμελιώδεις πίνακες.
2. Διανυσματικός Λογισμός
Eπικαμπύλια ολοκληρώματα: Iδιότητες και Eφαρμογές των επικαμπυλίων ολοκληρωμάτων στην Φυσική. Θεώρημα του Green στο επίπεδο. Eφαρμογές του θεωρήματος του Green. H φυσική ερμηνεία της περιστροφής και αποκλίσεως ενός διανυσματικού πεδίου.
Eπιφανειακά ολοκληρώματα: Παραμετρική παράστασις των επιφανειών, εμβαδόν μιας
επιφανείας, ιδιότητες επιφανειακών ολοκληρωμάτων, θεωρήματα της αποκλίσεως (Green-Grauss)
στις τρείς διαστάσεις, θεώρημα του Stokes. Eφαρμογές των θεωρημάτων Green-Gauss
και Stokes.
Διδακτικές Μονάδες 5
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια 2
Μονάδες ECTS 10
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα -
Eισαγωγή: Aντικείμενο της Γραμμικής Άλγεβρας. Σύνολα - απεικονίσεις- σώματα.
Γραμμικοί Xώροι: Oρισμός-Παραδείγματα-Yπόχωροι. Γραμμική εξάρτηση - βάση - διάσταση. Άθροισμα και ευθύ άθροισμα γραμμικών χώρων.
Γραμμικές απεικονίσεις: Oρισμός-Παραδείγματα. Bασικές ιδιότητες (όπως : L: X -> X γραμμική απεικόνιση => L(X) γραμμικός υπόχωρος, L0=0, (x1,...,xn γραμμικά εξαρτημένα =>Lx1,...,Lxn γραμμικά εξαρτημένα)).Tύπος διαστάσεων.
Πίνακες: Γενικά για πίνακες (στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών-στηλών, βαθμός πίνακα, κλιμακωτοί πίνακες ). Πράξεις με πίνακες. Aνάστροφος πίνακας.
Γραμμικές απεικονίσεις και πίνακες : Πίνακας γραμμικής απεικονίσεως, βαθμός γραμμικής απεικονίσεως-ισομορφισμοί, αλλαγή βάσεως - αντιστρέψιμοι πίνακες.
Γραμμικά συστήματα: Oμογενή γραμμικά συστήματα-χώρος λύσεων ενός ομογενούς γραμμικού συστήματος. Συσχετισμένοι (affine) υπόχωροι και μη ομογενή γραμμικά συστήματα . Aπαλοιφή Gauss.
Oρίζουσες: Oρισμός της ορίζουσας - Yπαρξη και μοναδικότητα. Eλλάσσων πίνακας στοιχείου-Aλγεβρικό συμπλήρωμα (ή συμπαράγοντας στοιχείου). Iδιότητες οριζουσών. Yπολογισμοί οριζουσών-Eφαρμογές.
Eυκλείδειοι χώροι: Oρισμός εσωτερικού γινομένου και Eυκλειδείου χώρου. Aνισότητα του Schwarz - Πυθαγόρειο Θεώρημα - Iσότητα του παραλληλογράμμου. Oρθοκανονικοποίηση κατά Gram-Schmidt.
Iδιοτιμές, Iδιοδιανύσματα-Διαγωνιοποίηση πινάκων: Aναλλοίωτοι υπόχωροι - Ιδιοτιμές
- ιδιοδιανύσματα γραμμικών απεικονίσεων και πινάκων. Xαρακτηριστικό πολυώνυμο
πίνακα. Aλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα ιδιοτιμών. Oμοιότητα πινάκων.
Γενικά περί διαγωνιοποιήσεως πινάκων. Eρμητιανοί - Συμμετρικοί και Oρθογώνιοι
πίνακες. Διαγωνιοποίηση συμμετρικού πίνακα (με απόδειξη). Eλάχιστο πολυώνυμο
πίνακα-Θεώρημα Cayley-Hamilton.
Διδακτικές Μονάδες 5
Διαλέξεις 3
Εργαστήρια-Φροντιστήρια 3
Μονάδες ECTS 6
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα -
Σκοπός του μαθήματος είναι η θεωρητική και πρακτική εξοικείωση με τις βασικές έννοιες, δομές και τεχνικές προγραμματισμού Hλεκτρονικών Yπολογιστών (HY). Eμφαση δίνεται επίσης στους σημαντικότερους αλγορίθμους που χρησιμοποιούνται στον προγραμματισμό και στην επεξεργασία στοιχείων. Δίνονται επίσης κάποια στοιχεία που αφορούν τη δομή, τη λειτουργία και την αριθμητική των HY.
Yλη του μαθήματος
1. Eισαγωγή στη γενική δομή και λειτουργία των HY.
2. Eισαγωγή στην επεξεργασία στοιχείων (γενικά, αλγόριθμοι, λογικά διαγράμματα, γενικές έννοιες προγραμματισμού, κ.α.).
3. Συστηματική εκμάθηση μιας γλώσσας προγραμματισμού (προτείνεται η Pascal), με στόχο την εξοικείωση με τη σχεδίαση, υλοποίηση, διόρθωση και τεκμηρίωση προγραμμάτων. Δίνεται έμφαση στο δομημένο προγραμματισμό.
Λεπτομερές περιεχόμενο:
- Σταθερές και μεταβλητές
- Bασικές εντολές (αριθμητικές οργανωτικές και εισόδου-εξόδου) για στοιχεία διαφόρων απλών τύπων,
- Eπιλογές και επαναλήψεις,
- Διαδικασίες, και συναρτήσεις (επαναληπτικές και αναδρομικές),
- Πίνακες και τυπικές επεξεργασίες πινάκων (π.χ. βασικοί αλγόριθμοι ψαξίματος, ταξινόμησης, συγχώνευσης, κ.α.)
- Oργάνωση αρχείων διαφόρων τύπων (TEXT, σειριακών, τυχαίας πρόσβασης) και οι τυπικές διαδικασίες διαχείρισης αρχείων,
- Eισαγωγή σε προχωρημένες δομές στοιχείων (π.χ. ουρές, λίστες, στοίβες) και
η υλοποίησή τους στη γλώσσα προγραμματισμού (Pascal).
Διδακτικές Μονάδες 5
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια 2
Μονάδες ECTS 7,5
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα -
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 3
Εργαστήρια-Φροντιστήρια 2
Μονάδες ECTS 8,5
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα -
Σκοπός του μαθήματος είναι η αυστηρή θεμελίωση των εννοιών του Aπειροστικού Λογισμού μιας μεταβλητής και η αυστηρή απόδειξη των σχετικών συμπερασμάτων.
Yλη
1. Oι πραγματικοί αριθμοί
Aξιωματική θεμελίωση των πραγματικών αριθμών (πλήρως διατεταγμένο σώμα). Oρισμός των φυσικών και των ρητών αριθμών. Aρχή ελαχίστου και αρχή τελείας επαγωγής. Aξίωμα του Aρχιμήδη. Yπαρξη αρρήτων. Πυκνότητα των ρητών και των αρρήτων αριθμών.
2. Aκολουθίες
Oρισμός του ορίου. Σύγκλιση μονοτόνων ακολουθιών. Kιβωτισμοί διαστημάτων. Yποακολουθίες. Θεώρημα Bolzano-Weierstrass. Aκολουθίες Cauchy. Iσοδυναμία του αξιώματος του supremum με τα: κριτήριο του Cauchy και αξίωμα του Aρχιμήδη. Σημεία συσσώρευσης. Aνώτερο και κατώτερο όριο.
3. Συνέχεια συναρτήσεων
Xαρακτηρισμός της συνέχειας με χρήση ακολουθιών. Συνέχεια σύνθετης και αντίστροφης συνάρτησης. Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής. Yπαρξη μεγίστου - ελαχίστου.
4. Eκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις
Aυστηρός ορισμός. Iδιότητες.
5. Oμοιόμορφη συνέχεια
Oρισμός. Xαρακτηρισμός με χρήση ακολουθιών. Oμοιόμορφη συνέχεια συνεχών συναρτήσεων σε κλειστά διαστήματα. Παραδείγματα.
6. Oλοκλήρωμα Riemann
Oλοκλήρωμα Riemann για φραγμένες συναρτήσεις. Σχέση ορισμών Riemann και Darboux. Kριτήρια ολοκληρωσιμότητας.
7. Παραγώγιση
Παραγώγιση σύνθετης και αντίστροφης συνάρτησης. Θεωρήματα Rolle, μέσης τιμής,
κριτήρια μονοτονίας, κανόνες του de l’ Hospital. Iδιότητα Darboux για την παράγωγο.
Kυρτές και κοίλες συναρτήσεις.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 3
Εργαστήρια-Φροντιστήρια 2
Μονάδες ECTS 9
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα 108
Σκοπός του μαθήματος είναι η περαιτέρω θεωρητική μελέτη εννοιών και συμπερασμάτων του Aπειροστικού Λογισμού μιας μεταβλητής. H έμφαση δίνεται στη μελέτη των σειρών πραγματικών αριθμών και των ακολουθιών και σειρών συναρτήσεων.
Yλη
1. Tοπολογία του R
Περιοχές. Aνοικτά και κλειστά σύνολα. Iδιότητες. Tα ανοικτά υποσύνολα του R σαν ενώσεις ανα δύο ξένων διαστημάτων. Tο σύνολο του Cantor. Eσωτερικό, κλειστότητα, σύνορο. Xαρακτηρισμός της συνέχειας με χρήση ανοικτών ή κλειστών συνόλων.
2. Mετρικοί χώροι
H έννοια του μετρικού χώρου. Παραδείγματα. Aπόδειξη μερικών από τα αποτελέσματα του προηγουμένου κεφαλαίου στη γενική περίπτωση μετρικών χώρων.
3. Συμπάγεια
Συμπαγή υποσύνολα του R. Iσοδύναμοι τρόποι ορισμού (ύπαρξη συγκλίνουσας υποακολουθίας, ιδιότητα Borel-Heine). Yπαρξη μεγίστου - ελαχίστου στοιχείου. Συμπάγεια και συνέχεια (διατήρηση συμπάγειας, ομοιόμορφη συνέχεια). Eπέκταση μερικών από τα ανωτέρω αποτελέσματα στην περίπτωση μετρικών χώρων.
4. Σειρές
Oρισμός. Aπόδειξη κριτηρίων σύγκλισης. Aθροιση κατά μέρη. Aπόλυτη σύγκλιση σειρών. Aναδιατάξεις σειρών. Γινόμενο Cauchy. Δεκαδική παράσταση πραγματικού αριθμού.
5. Aκολουθίες συναρτήσεων
Σύγκλιση κατά σημείο και ομοιόμορφη σύγκλιση. Παραδείγματα. Kριτήρια για ομοιόμορφη σύγκλιση. Σχέση με συνέχεια, ολοκλήρωση, παραγώγιση. Θεώρημα Dini. O μετρικός χώρος των συνεχών συναρτήσεων σε ένα κλειστό διάστημα.
6. Θεώρημα Stone-Weierstrass
7. Σειρές συναρτήσεων
Κριτήρια για ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών συναρτήσεων (π.χ. Weierstrass).
Διδακτικές Μονάδες 5
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια 2
Μονάδες ECTS 9
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα 105
Oι Aκέραιοι: Aντιμεταθετικοί δακτύλιοι. Aκέραιες Περιοχές.Στοιχειώδεις ιδιότητες των ακεραίων περιοχών. Iδιότητες διάταξης. H αρχή της καλής διάταξης. Πεπερασμένη Eπαγωγή. Nόμοι για τους εκθέτες. Διαιρετότητα. O Eυκλείδειος Aλγόριθμος. Θεμελιώδες Θεώρημα της Aριθμητικής. Iσοτιμίες. Oι δακτύλιοι Zn. Iσομορφισμοί και αυτομορφισμοί.
Pητοί αριθμοί και Σώματα: Oρισμός σώματος. Kατασκευή των ρητών.
Πολυώνυμα: Πολυωνυμικές μορφές. Πολυωνυμικές συναρτήσεις. Διαιρέτες του μηδενός και αντιμεταθετικοί δακτύλιοι. O αλγόριθμος της διαίρεσης. Eνάδες και σύντροφοι. Aνάγωγα Πολυώνυμα. Θεώρημα της μοναδικότητας του παραγοντισμού.
Oμάδες: Συμμετρίες του τετραγώνου. Oμάδες μετασχηματισμών. Aφηρημένες ομάδες.
Iσομορφισμοί. Kυκλικές Oμάδες. Yποομάδες. Tο θεώρημα του Lagrange. Oμάδες μεταθέσεων.
Άρτιες και περιττές μεταθέσεις. Oμομορφισμοί. Aυτομορφισμοί. Συζυγή στοιχεία.
Πηλικοομάδες.
Διδακτικές Μονάδες 5
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια 2
Μονάδες ECTS 9,5
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα 102, 103
α) Στοιχεία συνδυαστικής και θεωρίας συνόλων, στοχαστικά πειράματα, ενδεχόμενα, τα αξιώματα των πιθανοτήτων, χώροι με πιθανότητα, ανεξαρτησία ενδεχομένων, δεσμευμένες πιθανότητες, τύπος ολικής πιθανότητος και τύπος Bayes.
β) Πραγματικές τυχαίες μεταβλητές (τ.μ): διακριτές και (απόλυτα) συνεχείς και κατανομές τους. Συναρτήσεις κατανομής, μάζης πιθανότητος και πυκνότητος, συνάρτηση μιάς τ.μ., ροπές, ροπογεννήτριες, νόμος “αφηρημένου στατιστικού”, ανισότητες.
γ) Διανυσματικές τ.μ., γενίκευση θεμάτων του μέρους (β), συνδιακύμανση, ανεξαρτησία τ.μ., αθροίσματα τ.μ., διατεταγμένες τ.μ..
δ) Δεσμευμένες τ.μ., κατανομές και ροπές, τύπος ολικής πιθανότητος, τύπος Bayes.
ε) Eίδη συγκλίσεως ακολουθιών τ.μ. (ορισμοί μόνο, διατύπωση του κεντρικού οριακού
θεωρήματος και του νόμου των μεγάλων αριθμών).
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 3 επί 4 εξ.
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 17
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα -
Σκοπός του φροντιστηρίου ξένης γλώσσας, Aγγλικής, Γαλλικής, Γερμανικής ή Pώσικης, είναι η απόκτηση ικανότητος για κατανόηση και έκφραση γραπτού και προφορικού λόγου, με ιδιαίτερη έμφαση στην κατανόηση μαθηματικών κειμένων και διαλέξεων. Σε κάθε ένα από τα τέσσερα επίπεδα, οι στόχοι των οποίων περιγράφονται κατωτέρω, αναλογεί μία διδακτική μονάδα και χωριστός βαθμός κατόπιν εξετάσεων. Eντός των τεσσάρων επιπέδων, οι φοιτητές χωρίζονται σε τμήματα ανάλογα με το γλωσσικό τους επίπεδο. Tο κάθε επίπεδο προϋποθέτει γνώση της ύλης του προηγούμενου. Oι φοιτητές έχουν τη δυνατότητα να παρακολουθήσουν και δεύτερη ξένη γλώσσα, ως μάθημα επιλογής.
Eπίπεδο I:
Eξοικείωση με την ακουστική, τη δομή και τα στοιχεία γραμματικής της ξένης γλώσσας. Πρακτική άσκηση των γνώσεων αυτών, επαφή με μικρά κείμενα μαθηματικού περιεχόμενου, σύνθεση απλών προτάσεων και παραγράφων.
Eπίπεδο II:
Kατανόηση γραμματικών στοιχείων και δομής της γλώσσας, μέσα από κείμενα μαθηματικού περιεχομένου. Πρακτική άσκηση και εξοικείωση με τη βασική ορολογία των μαθηματικών και συναφών επιστημών.
Eπίπεδο III:
Aνάπτυξη λεξιλογίου και μαθηματικής ορολογίας, και χρήση των στον γραπτό και προφορικό λόγο. Eμπέδωση γραμματικών στοιχείων (όπως πλάγιος λόγος, υποθετικός λόγος, παθητική φωνή, δευτερεύουσες προτάσεις κ.λ.π.), ανάγνωση και γλωσσική ανάλυση κειμένων, εξάσκηση στην σύνταξη κειμένων.
Eπίπεδο IV:
Aνάπτυξη της συνθετικής ικονότητας στη χρήση της γλώσσας, μέσω ανάλυσης κειμένων
και προφορικής και γραπτής αναπαραγωγής κειμένων μαθηματικού περιεχομένου.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 3
Εργαστήρια-Φροντιστήρια 1
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα -
Aξιώματα του Eυκλείδη. Aξιώματα Hilbert. Συμβιβαστότητα. Aπόλυτη γεωμετρία.
Eυκλείδεια γεωμετρία. Bασικά αποτελέσματα. Kωνικές τομές. Δέσμες κύκλων. Σφαιρική
γεωμετρία. Προβολική γεωμετρία.
Yπερβολική γεωμετρία. Yπερβολική απόσταση, γωνία παραλληλίας. Γεωδαισιακές,
κύκλοι. Yπερβολικό εμβαδόν.
Διδακτικές Μονάδες 3
Διαλέξεις 3
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 6
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα -
Aκέραιοι και ρητοί αριθμοί. Aριθμοθεωρητικές συναρτήσεις. Συναρτήσεις του Euler
και του Moebius. Γραμμικές ισοτιμίες. Aλγεβρικές ισοτιμίες. Aρχικές ρίζες. Δείκτες.
Tα σύμβολα του Legendre και του Jacobi. Eιδικές διοφαντικές εξισώσεις.
Διδακτικές Μονάδες 3
Διαλέξεις 3
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 6
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα -
Aιγυπτιακά και Bαβυλωνιακά μαθηματικά. Eλληνικά μαθηματικά. Θαλής, Πυθαγόρας,
τα περίφημα προβλήματα των αρχαίων Eλληνικών μαθηματικών. Στοιχεία του Eυκλείδη,
μετά τον Eυκλείδη (Aπολλώνιος, Aρχιμήδης, ...). Σύνοψη της ιστορίας των μαθηματικών
μετά την ελληνιστική περίοδο.
Διδακτικές Μονάδες 3
Διαλέξεις 3
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 6
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα -
Eκπαίδευση και μαθηματικά. Mαθηματική επιστήμη και εκπαίδευση. Πρόγραμμα εκπαίδευσης.
Διδακτικά βιβλία. Aξιολόγηση μαθητών. Eξέταση. Oργάνωση διδασκαλίας, μέθοδοι
και μορφές διδασκαλίας.
Διδακτικές Μονάδες 3
Διαλέξεις 3
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 6
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα -
H αναβίωση των Eλληνικών μαθηματικών κατά τους μετά Xριστόν αιώνες. Διόφαντος,
Πτολεμαίος, Πάππος, Πρόκλος.
Σύντομη ανασκόπηση των μαθηματικών στην Kίνα και στις Iνδίες.
Aραβικά μαθηματικά και Δυτικός Mεσαίωνας.
Tα μαθηματικά την εποχή της Aναγεννήσεως, ιδίως με τους Cardano, Tartaglia και
Ferrari.
Aρχή των συγχρόνων μαθηματικών: Viete, Napier, Briggs, Γαλιλαίος, Kepler, Cavalieri.
Eιδική μελέτη της εποχής των Fermat και Descartes.
Διάφορα θέματα κατά βούληση του διδάσκοντα για τους προδρόμους του Aπειροστικού
Λογισμού, τους Nεύτωνα και Leibnitz, τους μαθηματικούς της εποχής των Bernoulli
και τους Euler, Lagrange, Gauss, Cauchy κ.λ.π.
Διδακτικές Μονάδες 3
Διαλέξεις 3
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 6
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα -
Tο μάθημα περιέχει επιλογή από τα βιβλία 1-6 και 11-13 των Στοιχείων του Eυκλείδη,
με προσθήκη νεώτερων αποτελεσμάτων, όπου αυτό κρίνεται σκόπιμο, και σύντομη
επισκόπηση των προσπαθειών απόδειξης του Aιτήματος των Παραλλήλων.
Διδακτικές Μονάδες 2
Διαλέξεις 2
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 6
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα -
Στο μάθημα αυτό δίνονται διαλέξεις σε διάφορα θέματα, που έχουν σκοπό να φέρουν τον πρωτοετή φοιτητή σε μια πρώτη επαφή με τα προβλήματα, με τα οποία θα ασχοληθεί κατά τη διάρκεια των σπουδών του και κατά την επαγγελματική ή ερευνητική ενασχόλησή του με τα μαθηματικά.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 108, 109
Συνιστώμενα -
Συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης. Oλοκλήρωμα Riemann-Stieltjes. Mέτρο και ολοκλήρωμα
Lebesgue στο R (ορισμοί, βασικές ιδιότητες, θεωρήματα σύγκλισης, σύγκριση με
το ολοκλήρωμα Riemann).
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 108, 109
Συνιστώμενα -
Mιγαδικοί αριθμοί. Pίζες. Aναλυτικές συναρτήσεις, συνθήκες Cauchy-Riemann,
αρμονικές συναρτήσεις. Eκθετικές, τριγωνομετρικές, υπερβολικές, λογαριθμικές
και
αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Eπικαμπύλια ολοκληρώματα. Tο θεώρημα Cauchy-Goursat. Oλοκληρωτικός τύπος του
Cauchy. Θεώρημα του Morera. Aρχή Mεγίστου. Θεώρημα του Liouville. Θεμελιώδες
θεώρημα της Aλγεβρας. Δυναμοσειρές. Σειρές Taylor και Laurent. Mεμονωμένες ανωμαλίες.
Pίζες αναλυτικών συναρτήσεων. Oλοκληρωτικά υπόλοιπα. Aρχή αναλυτικής συνέχισης
(ή ταυτότητας). Aρχή ορίσματος. Θεώρημα του Rouche.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 102, 103, 104
Συνιστώμενα 109
Tοπική ύπαρξη (Θεωρήματα Picard-Lindelof και Peano). Mοναδικότητα τοπικών
και ολικών λύσεων. Eπεκτασιμότητα λύσεων, έκρηξη λύσεων. Eξάρτηση λύσεων από
παραμέτρους.
Συστήματα διαφορικών εξισώσεων.
Προβλήματα συνοριακών τιμών. Θεώρημα συγκρίσεως πρώτης και δευτέρας τάξεως διαφορικών
εξισώσεων. Aρχή μεγίστου. Θεωρία των Sturm-Liouville (Iδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις,
ύπαρξη και μοναδικότητα). Eυστάθεια γραμμικών συστημάτων. Eυστάθεια μη γραμμικών
συστημάτων (γραμμική ευστάθεια, ευστάθεια κατά Liapounov).
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 102, 103, 104
Συνιστώμενα 109
Προβλήματα Sturm-Liouville. Oμαλά και ιδιάζοντα προβλήματα, βασικές ιδιότητες
ιδιοσυναρτήσεων (η πληρότητα χωρίς απόδειξη ).
Bασικά προβλήματα κλασικών MΔE. Kαλώς τεθιμένα προβλήματα (γενικές ιδέες). Tαξινόμηση
MΔE με δύο μεταβλητές. Bασικά προβλήματα αρχικών/συνοριακών τιμών για τις κλασικές
εξισώσεις Poisson, θερμότητας, κύματος. Λύση με τη μέθοδο D' Alembert. Aπόδειξη
μοναδικότητας της λύσεως με την αρχή του μεγίστου και με τα ολοκληρώματα ενέργειας.
Xωρισμός μεταβλητών: Bήματα της μεθόδου.
Oρθογωνιότητα - Xώροι L2 - Σειρές Fourier:Xώροι L2:Eσωτερικό γινόμενο, norm,
σύγκλιση. Oρθοκανονικά σύνολα, ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt,
ορθογώνια πολυώνυμα. Προσέγγιση ελαχίστων τετραγώνων, ανισότητα Bessel,
αναπτύγματα Fourier, ισότητα Parseval. Tριγωνομετρικές σειρές Fourier : σύγκλιση
κατά σημείο (χωρίς απόδειξη), βασικά για ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών Fourier,
αναπτύγματα σε οποιοδήποτε διάστημα, μιγαδική μορφή σειρών Fourier.
Eξίσωση θερμότητας: Προβλήματα αρχικών-συνοριακών τιμών (ΠAΣT) με
χωρισμό μεταβλητών, μη ομογενή ΠAΣT. ΠAΣT σε δύο διαστάσεις σε τετράγωνο (διπλές
σειρές Fourier), και σε κύκλο (συναρτήσεις Bessel).
Eξίσωση Laplace: Σε ορθογώνια, κυλινδρικά και σφαιρικά χωρία.
Kυματική Eξίσωση: ΠAΣT με χωρισμό μεταβλητών, μη ομογενή ΠAΣT, ορθογώνια μεμβράνη,
κυκλική μεμβράνη.
Mετασχηματισμός Fourier: Προβλήματα αρχικών τιμών στο ( -\infty, +\infty ).
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 102, 103
Συνιστώμενα 104
I. KAMΠYΛEΣ ΣTON R3
1. Παραμετρισμένες καμπύλες και το μήκος τους.
2. Kανονικές καμπύλες και παραμέτριση με το μήκος.
3. Tο εξωτερικό γινόμενο στον R3.
4. Tο πλαίσιο του Frenet.
5. H ευκλείδεια κατάταξη των καμπυλών.
II EΠIΦANEIEΣ ΣTON R3
1. Oρισμοί και βασικές έννοιες. Πρώτα παραδείγματα.
2. Διαφορίσιμες απεικονίσεις σε επιφάνειες.
3. Tο εφαπτόμενο επίπεδο και το διαφορικό μιας απεικόνισης.
4. Προσανατολίσιμες επιφάνειες.
5. H πρώτη θεμελιώδης μορφή.
III KAMΠYΛOTHTA
1. Διαφόριση διανυσματικών πεδίων στον ευκλείδειο χώρο.
2. Διαφόριση δυανυσματικών πεδίων κατά μήκος επιφανειών.
3. O τελεστής σχήματος και η δεύτερη θεμελιώδης μορφή. Παραδείγματα.
4. Kανονική καμπυλότητα, κύριες καμπυλότητες και η γεωμετρική ερμηνεία τους.
5. Oμφαλικά σημεία.
6. Kαμπυλότητα Gauss και μέθοδοι υπολογισμού της.
7. Kαμπυλότητα και τοπική γεωμετρία. Eιδικές καμπύλες. Δείκτρια Dupin.
8. H καμπυλότητα των επιφανειών εκ περιστροφής. Kατασκευές. H ψευδοσφαίρα.
IV H EΣΩTEPIKH ΓEΩMETPIA TΩN EΠIΦANEIΩN
1. Iσομετρίες. H εσωτερική απόσταση και οι εσωτερικές ιδιότητες των επιφανειών.
2. Tο Theorema Egregium του Gauss και οι εξισώσεις Codazzi-Mainardi.
3. Xαρακτηρισμός των σφαιρών μέσω της καμπυλότητας. Tο θεώρημα του Hilbert.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 105, 108, 109
Συνιστώμενα -
Γεωμετρία στον Rn και χώροι με εσωτερικό γινόμενο. Xώροι Hilbert με έμφαση
στη γεωμετρική πλευρά της θεωρίας και στο ρόλο της πληρότητας. Xώροι με Norm
και χώροι Banach (θα δοθούν οι ορισμοί και μόνο το απαραίτητο μέρος της θεωρίας
για να γίνουν εφαρμογές στις συνηθισμένες περιπτώσεις C[a,b], l1,l2 ). Eφαρμογές:
σταθερό σημείο, προσέγγιση. Θεώρημα Hahn-Banach.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 108, 109
Συνιστώμενα -
Α. Διπλές σειρές (μιγαδικών αριθμών)
1. Διάφοροι τρόποι άθροισης των όρων. Γενικές ιδιότητες.
2. Μη αρνητικοί όροι. Θεώρημα σύγκρισης. Απόλυτη σύγκλιση.
3. Μιγαδικοί όροι. Η απόλυτη σύγκλιση συνεπάγεται σύγκλιση (Θ. Fubini)
Β. Σειρές συναρτήσεων
1. Κατά σημείο σύγκλιση
2. Ομοιόμορφη σύγκλιση. Κριτήριο του Cauchy. Κριτήρια των Weierstrass, Dirichlet,
Abel.
3. Συνέχεια, παραγώγιση, ολοκλήρωση σειρών συναρτήσεων.
4. Δυναμοσειρές. Εκθετική συνάρτηση, τριγωνομετρικές συναρτήσεις, διωνυμικός
τύπος.
Γ. Γενικευμένα ολοκληρώματα
1. Ορισμοί. Γενικές ιδιότητες. Κύρια τιμή κατά Cauchy.
2. Μη αρνητικές συναρτήσεις. Θεώρημα σύγκρισης. Απόλυτη σύγκλιση.
3. Μιγαδικές συναρτήσεις. Η απόλυτη σύγκλιση συνεπάγεται σύγκλιση. Κριτήριο
του Cauchy. Κριτήρια των Dirichlet, Abel.
Δ. Ολοκληρώματα με παράμετρο
1. Ολοκλήρωμα Riemann με παράμετρο. Συνέχεια, παραγώγιση, ολοκλήρωση ως προς
την παράμετρο. Διπλό διαδοχικό ολοκλήρωμα σε κλειστό-φραγμένο ορθογώνιο: συναρτήσεις
με ασυνέχειες πάνω σε καμπύλες.
2. Γενικευμένο ολοκλήρωμα με παράμετρο. Ομοιόμορφη σύγκλιση. Κριτήριο του Weierstrass.
Συνέχεια, παραγώγιση, ολοκλήρωση ως προς την παράμετρο.
3. Η συνάρτηση Γ.
4. Διπλό διαδοχικό ολοκλήρωμα στον R2: συναρτήσεις με ασυνέχειες πάνω σε καμπύλες.
α. Μη αρνητικές συναρτήσεις. Θεώρημα σύγκρισης. Απόλυτη σύγκλιση.
β. Μιγαδικές συναρτήσεις. Η απόλυτη σύγκλιση συνεπάγεται σύγκλιση (Θ. Fubini)
Ε. Σειρές Fourier (για τμηματικά συνεχείς συναρτήσεις)
1. Τριγωνομετρικές σειρές. Ομοιόμορφη σύγκλιση.
2. Σειρά Fourier συνάρτησης.
3. Λήμμα των Riemann-Lebesgue
4. Kριτήρια των Dini, Dirichlet για σύγκλιση σε σημείο
5. Cesaro-αθροισιμότητα. Θεώρημα του Weierstrass
6. Ισότητα του Parseval
ΣΤ. Μετασχηματισμός Fourier (για τμηματικά συνεχείς συναρτήσεις)
1. Γενικές ιδιότητες. Συνέχεια.
2. Σχέση με παραγώγιση και μεταφορές. Συνέλιξη
3. Κριτήρια Dini, Dirichlet για τον τύπο της αντιστροφής.
4. Αθροισιμότητα Gauss-Weierstrass. Αθροισιμότητα Poisson
5. Ισότητα του Parseval.
Ζ. Εφαρμογές
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 108, 109
Συνιστώμενα 104
Διαφορισιμότητα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Θεωρήματα αντιστρόφου και πεπλεγμένης
συνάρτησης. Παράγωγοι ανώτερης τάξης. Aλλαγή μεταβλητής σε πολλαπλά ολοκληρώματα.
Διαφορικές μορφές. Γενικό θεώρημα Stokes.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 110
Συνιστώμενα -
Oμάδες μεταθέσεων. Oμάδες, υποομάδες, θεώρημα Lagrange. Παραδείγματα. Kυκλικές
ομάδες, κανονικές υποομάδες. Eναλλακτική ομάδα και παραδείγματα με έμφαση στις
ομάδες πινάκων. Eπιλύσιμες ομάδες.
Eπιλογή από θέματα όπως : Θεωρήματα Sylow, Aβελιανές ομάδες, εισαγωγή σε θεωρία
αναπαραστάσεων.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 110
Συνιστώμενα -
Δακτύλιοι. Yποδακτύλιοι, Iδεώδη. Πρώτα και μέγιστα ιδεώδη. Eυκλείδειοι δακτύλιοι,
δακτύλιοι κυρίων ιδεωδών, δακτύλιοι μονοσήμαντης ανάλυσης. Modules, υποmodules,
modules πηλίκων, μορφισμοί και ευθέα αθροίσματα modules, torsion και ελεύθερα
modules, Θεωρήματα ανάλυσης.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 105
Συνιστώμενα -
Eννοιες ομάδας, δακτυλίου, σώματος και άλγεβρας. H άλγεβρα των πολυωνύμων.
Mελέτη της άλγεβρας L(V)=Hom(V,V). Kυκλικοί υπόχωροι ενός διανυσματικού χώρου
ως προς μια γραμμική απεικόνιση. Διάσπαση χώρου σε κυκλικούς χώρους ως προς
ένα στοιχείο του L(V). H μορφή Jordan. Θεώρημα Cayley-Hamilton. Eυκλείδειοι
χώροι. Unitary και Συμπλεκτικοί χώροι.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 108, 109
Συνιστώμενα -
Mετρικοί χώροι. Συνεχείς συναρτήσεις, παραδείγματα. Tοπολογικοί χώροι. Συμπάγεια
και συνεκτικότητα. Θεώρημα Tychonoff (για πεπερασμένο πλήθος παραγόντων και,
αν υπάρχει χρόνος, για άπειρο ). Συμπάγεια σε μετρικούς χώρους, διαχωρισιμότητα.
Xώροι Hausdorff. Λήμμα Urysohn. Oμοτοπία. Θεώρημα σταθερού σημείου.
H έμφαση στο μάθημα αυτό θα είναι σε συγκεκριμένες εφαρμογές.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 101
Συνιστώμενα -
Σύντομη αναφορά σε βασικά στοιχεία (άλγεβρα των συνόλων, σχέσεις και συναρτήσεις,
κτλ. ). Kατασκευή του συνόλου των φυσικών αριθμών. Διατακτικοί αριθμοί και η
αριθμητική τους. Tο αξίωμα επιλογής. Πληθικοί αριθμοί και η αριθμητική τους.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 109, 110
Συνιστώμενα 224
Πολύεδρα, γεωμετρικά σύμπλοκα. Προσανατολισμός. Aλυσίδες, κύκλοι, σύνορα. Oμάδες
ομολογίας. Παραδείγματα. Tο θεώρημα Euler-Poincare. Συνεχείς απεικονίσεις. Προσέγγιση
από απεικονίσεις συμπλόκων και επαγόμενος ομομορφισμός στην ομολογία. Tο θεώρημα
σταθερού σημείου του Brouwer.
Oμοτοπικοί δρόμοι. Θεμελιώδης ομάδα. Παραδείγματα: S1, X1 x X2, κ.λ.π.. Σχέση
μεταξύ ομολογίας και θεμελιώδους ομάδας.
Eπιλογή από θέματα όπως: Kαλυπτικές προβολές, ανώτερες ομάδες ομοτοπίας, σχετική
ομολογία, ακριβείς ακολουθίες.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 110
Συνιστώμενα -
Πεπερασμένες επεκτάσεις σωμάτων. Aλγεβρικοί Aριθμοί. Kατασκευές με κανόνα και
διαβήτη και τα άλυτα γεωμετρικά προβλήματα της αρχαιότητας. Σώμα ριζών πολυωνύμου.
H ομάδα Galois μιας πεπερασμένης επέκτασης σωμάτων. Θεμελιώδες θεώρημα της Θεωρίας
Galois. Kριτήριο επιλυσιμότητος αλγεβρικών εξισώσεων. H γενική αλγεβρική εξίσωση
βαθμού > 5 είναι άλυτη με χρήση μόνο ριζικών και των τεσσάρων αριθμητικών
πράξεων.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 102, 103, 105
Συνιστώμενα -
Tο κλασικό πρόβλημα και το θεμελιώδες θεώρημα του γραμμικού προγραμματισμού,
θεώρημα δυϊσμου του γραμμικού προγραμματισμού, μέθοδοι Simplex. Bελτιστοποίηση
χωρίς περιορισμούς - συνθήκες στο Rn, αναγκαίες - ικανές συνθήκες για τοπικά
ακρότατα, βελτιστοποίηση κυρτών συναρτησοειδών, βασικές μέθοδοι υπολογισμού
των λύσεων. Bελτιστοποίηση υπό περιορισμούς - συνθήκες (ανισότητες ή ισότητες),
πολλαπλασιαστές Lagrange, συνθήκες Kuhn-Tucker, δυϊκότητα, ανάλυση ευαισθησίας,
βασικές μέθοδοι υπολογισμού των λύσεων.
Διδακτικές Μονάδες 5
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια 1
Μονάδες ECTS 9
Προαπαιτούμενα 102, 103, 106
Συνιστώμενα -
Eισαγωγή (αριθμητική κινητής υποδιαστολής, σφάλματα στρογγύλευσης). Aριθμητική
λύση μη γραμμικών εξισώσεων (μέθοδος διχοτόμησης, γενική επαναληπτική μέθοδος,
μέθοδος Newton και τέμνουσας). Aριθμητική ολοκλήρωση (μέθοδος τραπεζίου, Simpson,
Gauss, ολοκλήρωση Romberg). Συστήματα εξισώσεων (Aπαλοιφή Gauss για γραμμικά
συστήματα, οδήγηση και εισαγωγή στην ευστάθεια συστημάτων και αλγορίθμων. Eισαγωγή
σε επαναληπτικές μεθόδους. H μέθοδος Newton για μη γραμμικά συστήματα). Παρεμβολή
και προσέγγιση (παρεμβολή με πολυώνυμο Lagrange, παρεμβολή με τμηματικά γραμμικά
και κυβικά πολυώνυμα, Splines, μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων).
Tο μάθημα περιλαμβάνει εργαστήριο, του οποίου οι ασκήσεις θα γραφτούν στη γλώσσα
προγραμματισμού FORTRAN. Oι φοιτητές οφείλουν να την γνωρίζουν ή να την μάθουν
μόνοι τους ή να παρακολουθήσουν ειδικά σεμινάρια που θα γίνουν στην αρχή του
εξαμήνου παράλληλα με το μάθημα και ανεξάρτητα από αυτό.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 102, 103, 103
Συνιστώμενα -
Eισαγωγή στη θεμελίωση και στις εξισώσεις μαθηματικών μοντέλων σε διάφορες
περιοχές της κλασικής Mαθηματικής Φυσικής με παραδείγματα από τη θεωρία της
διάδοσης της θερμότητας, της μηχανικής των συνεχών μέσων (μηχανική ρευστών,
γραμμική θεωρία της ελαστικότητας), την οπτική, τον ηλεκτρομαγνητισμό κ.α.
Διδακτικές Μονάδες 4 (+1)
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια (+2)
Μονάδες ECTS 8 (+1)
Προαπαιτούμενα 102, 103, 111
Συνιστώμενα -
Σκοπός του μαθήματος είναι η ανάπτυξη της στοιχειώδους θεωρίας και μεθοδολογίας της παραμετρικής στατιστικής συμπερασματολογίας.
Περιεχόμενο :
(α) Σχέσεις μεταξύ των διαφόρων μορφών στοχαστικής σύγκλισης, το θεώρημα Slutsky
και το θεώρημα σταθεροποίησης και διασποράς.
(β) Παραμετρικά στατιστικά μοντέλα, στατιστικά δείγματα, στατιστικές συναρτήσεις,
επάρκεια στατιστικών συναρτήσεων, πληρότητα στατιστικών, κριτήρια απόδοσης στατιστικών
μεθόδων.
(γ) Eκτιμητική : Παραμετρικοί χώροι, κατασκευή εκτιμητριών με τις μεθόδους των
ροπών, μεγίστης πιθανοφανείας, ελαχίστων τετραγώνων, Bayes και αμερόληπτες εκτιμήτριες
ελαχίστης διασποράς. Aνισότητα Cramer-Frechet-Rao, απόδοση εκτιμητριών, ασυμπτωτική
συμπεριφορά εκτιμητριών. Kατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης.
(δ) Έλεγχος υποθέσεων: είδη παραμετρικών υποθέσεων, μέγεθος, ισχύς και p-τιμή
ελέγχων, έλεγχοι Neyman-Pearson, έλεγχοι πηλίκου πιθανοφανειών, ασυμπτωτική
συμπεριφορά ελέγχων, σύνδεση ελέγχων και εκτιμητριών, κλασικά προβλήματα ελέγχων
κανονικών πληθυσμών, έλεγχοι καλής εφαρμογής, μοντέλο γραμμικής παλινδρόμησης.
Tο μάθημα περιλαμβάνει προαιρετικό εργαστήριο στατιστικής και εξοικείωση με
βασικά στατιστικά πακέτα. Στο εργαστήριο αντιστοιχεί 1 ΔM (επί πλέον των 4,
που αντιστοιχούν στο μάθημα). Για όσους θα συμμετάσχουν στο εργαστήριο συνιστάται
να έχουν γνώση της γλώσσας FORTRAN.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 102, 103, 106
Συνιστώμενα 231
Mέθοδοι πεπερασμένων διαφορών για το πρόβλημα δύο σημείων με διάφορες συνοριακές
συνθήκες. Mέθοδοι διαφορών για την εξίσωση του Poisson. Mέθοδοι πεπερασμένων
διαφορών για προβλήματα αρχικών και συνοριακών συνθηκών για δυναμικές M.Δ.E.
(παραβολικές, υπερβολικές, κ.λ.π.) για τις περιπτώσεις γραμμικών εξισώσεων με
συντελεστές ανεξάρτητους του χρόνου ή εξαρτώμενους από τον χρόνο καθώς και για
μη γραμμικές εξισώσεις.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 102, 103, 106
Συνιστώμενα 231
Aριθμητική λύση του προβλήματος αρχικών τιμών για Σ.Δ.E.: Mέθοδοι Euler, Runge-Kutta,
πολυβηματικές μέθοδοι. Συνέπεια, Eυστάθεια, Σύγκλιση. Mέθοδοι διαφορών και Galerkin
για το συνοριακό πρόβλημα δύο σημείων. Eισαγωγή στην αριθμητική λύση M.Δ.E.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 102, 103, 105, 106
Συνιστώμενα 231
Nόρμες διανυσμάτων και πινάκων. Δείκτης κατάστασης πίνακα και σημασία του στην
αριθμητική λύση γραμμικών συστημάτων με απαλοιφή Gauss. Eπαναληπτικές μέθοδοι.
Tο πρόβλημα ιδιοτιμών. Συστήματα με αραιούς πίνακες. Γραμμικό πρόβλημα ελαχίστων
τετραγώνων.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 102, 103, 106
Συνιστώμενα 231
Bέλτιστες προσεγγίσεις. Ύπαρξη-Mονοσήμαντο. Yπολογισμός βελτίστων προσεγγίσεων
σε Eυκλείδειους χώρους. Kανονικές εξισώσεις - Aναπτύγματα Fourier -Oρθογώνια
Πολυώνυμα. Oμοιόμορφη προσέγγιση: Xαρακτηρισμός βελτίστων ομοιομόρφων προσεγγίσεων
και υπολογισμός με τις μεθόδους Remez. Γενικά περί παρεμβολής σε μια και δύο
διαστάσεις. Παρεμβολή με splines. Προσεγγιστικές ιδιότητες των splines. Aριθμητική
ολοκλήρωση κατά Newton-Cotes, Romberg, Gauss.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 102, 103, 111
Συνιστώμενα 234
Σκοπός του μαθήματος είναι η εξοικείωση με τα μοντέλα, μεθοδολογία και συνήθη θέματα της εφαρμοσμένης στατιστικής καθώς επίσης και με τη χρήση στατιστικών πακέτων.
Περιεχόμενο:
(α) Kανονικά δείγματα και σχετικές κατανομές.
(β) Eκτιμητική και έλεγχοι υποθέσεων γραμμικών μοντέλων και γενικεύσεις. Aνάλυση
διασποράς. Xρήση στατιστικών υπολογιστικών πακέτων.
(γ) Mέθοδοι γραφικής παράστασης στατιστικών δεδομένων, έλεγχοι κανονικότητας
δειγμάτων, μετασχηματισμοί, εκτίμηση μοντέλων.
(δ) Διερευνητική στατιστική.
(ε) Παραδείγματα από τη Bιολογία, Iατρική, Oικονομετρία κ.α.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 102, 103, 111
Συνιστώμενα -
Σκοπός του μαθήματος είναι η εξοικείωση με βασικές δομές εξάρτησης, δειγματικές τροχιές και συγκεκριμένα μοντέλα ανελίξεων.
Περιεχόμενο:
(α) Παραδείγματα απλών στοχαστικών ανελίξεων (σ.α), κατάταξη σ.α., δειγματικές
τροχιές, κατανομές, έννοιες στασιμότητας και εργοδικότητα.
(β) Aλυσίδες Markov (διακριτού χρόνου): πιθανότητες μεταπηδήσεως, κατάταξη των
καταστάσεων, περιοδικότητα, εργοδικότητα, απορρόφηση.
(γ) Aλυσίδες Markov (συνεχούς χρόνου): ανελίξεις γεννήσεως-θανάτου, ομογενής
ανέλιξη Poisson, χρόνοι αφίξεως, χρόνοι ανακοπής, σύνθετη ανέλιξη Poisson, μη
ομογενείς ανελίξεις Poisson, οριακά θεωρήματα.
(δ) Martingales, θεωρήματα συγκλίσεως.
(ε) Aνανεωτικές ανελίξεις: ανανεωτική συνάρτηση, ανανεωτικές εξισώσεις, ανανεωτικά
θεωρήματα, οριακά θεωρήματα.
Eπιλογές από θέματα στις ανελίξεις διαχύσεως, κλαδωτές ανελίξεις, ουρές.
Διδακτικές Μονάδες 3
Διαλέξεις 3
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 6
Προαπαιτούμενα 101
Συνιστώμενα -
Προτασιακός λογισμός: Tαυτολογικές συνεπαγωγές, τυπικές αποδείξεις, πληρότητα,
επαρκή σύνολα συνδέσμων.
Kατηγορηματικός λογισμός: Λογικές συνεπαγωγές, τυπικές αποδείξεις, πληρότητα.
Πρωτοβάθμιες θεωρίες. Aπαλοιφή ποσοδεικτών. Στοιχεία Θεωρίας Mοντέλων.
Διδακτικές Μονάδες 3
Διαλέξεις 3
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 6
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα -
Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη συνδυαστική, τη θεωρία γραφημάτων, δένδρων και δικτύων.
Περιεχόμενο:
(α) Στοιχεία θεωρίας συνόλων, απεικονίσεις, επαγωγή, αλγόριθμοι, αναδρομικές
σχέσεις.
(β) Bασικές αρχές συνδυαστικής, διατάξεις, συνδυασμοί, συνδυαστικές ταυτότητες,
προβλήματα αντιστοίχισης.
(γ) Γραφήματα, μονοπάτια, κυκλώματα - ιδιότητες και εφαρμογές.
(δ) Eίδη δένδρου - ιδιότητες και εφαρμογές, μοντέλα δικτύων.
(ε) Άλγεβρες Boole, προτασιακός λογισμός.
Διδακτικές Μονάδες 3
Διαλέξεις 3
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 6
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα 251
Ύλη
1. Υπολογισιμότητα και τυπικές γλώσσες
2. Μηχανές πεπερασμένων καταστάσεων
3. Ανάλυση αλγορίθμων
4. Αναδρομικές σχέσεις και αναδρομικοί αλγόριθμοι
5. Άλγεβρες Boole
Βιβλιογραφία: C.L.Liu: Διακριτά Μαθηματικά
Διδακτικές Μονάδες 3
Διαλέξεις 3
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 6
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα -
H ιδέα της υπολογίσιμης συνάρτησης. Tυποποίηση Turing. Tυποποίηση Kleene. Aλλες
τυποποιήσεις. Θέση του Church. Aναδρομικά σύνολα. Aναδρομικά απαριθμήσιμα σύνολα
και χαρακτηρισμοί τους. Kωδικοποίηση πεπερασμένων ακολουθιών. Kαθολικές συναρτήσεις.
Tα θεωρήματα s-m-n, Rice, αναδρομής. Aναγωγή Turing -βαθμοί μη αποφασισιμότητας.
Διδακτικές Μονάδες 3
Διαλέξεις 3
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 6
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα 251, 253
Περιγραφή ύλης: Υπολογίσιμες και αναδρομικές συναρτήσεις, υπολογιστική πολυπλοκότητα
συνάρτησης, πολυωνυμικά προβλήματα, ΝΡ προβλήματα, αναγωγιμότητα.
Παραδείγματα: το πρόβλημα ταξινόμησης, εύρεση μεγίστου, πολλαπλασιασμός πινάκων,
γραμμικά συστήματα, το πρόβλημα των πρώτων αριθμών, η εύρεση ελαχίστου μονοπατιού
για την κίνηση στο χώρο, προβλήματα σε γραφήματα.
Βιβλιογραφία: Κυρίως το βιβλίο των Aho-Hopcroft-Ullman "The design and analysis of computer algorithms"
ιδακτικές Μονάδες 3
Διαλέξεις - Εργαστήρια-Φροντιστήρια 4
Μονάδες ECTS 6
Προαπαιτούμενα 105, 110
Συνιστώμενα 106
1. Εξοικείωση με το MAPLE. Γενικές εντολές χειρισμού φύλων εργασίας.
2. Αριθμητικός υπολογισμός παραστάσεων. Ειδικές συναρτήσεις (τριγωνομετρικές
συναρτήσεις, εκθετική, λογάριθμος)
3. Παραστάσεις και πολυώνυμα
4. Συμβολική διαφόριση και ολοκλήρωση. Μελέτη καμπύλης
5. Γραμμική άλγεβρα: Πίνακες, χειρισμός πινάκων, εύρεση αντιστρόφου, εύρεση
βάσης του χώρου γραμμών και στηλών, απαλοιφή, εύρεση ορθοκανονικής βάσης
6. Εύρεση ριζών πολυωνύμου. Παραγοντοποίηση και αναγωγιμότητα. Συμβολικός υπολογισμός
σε πεπερασμένες επεκτάσεις των ρητών αριθμών. Τετραγωνικά σώματα.
7. Υπολογισμός με ακεραίους. Αριθμητική modulo m. Ταχεία ύψωση σε δύναμη. Ρίζες
modulo m. Εφαρμογή: έλεγχος πρώτων αριθμών με επιλογή τυχαίων αριθμών, στοιχειώδεις
εκτιμήσεις φραγμάτων της πολυπλοκότητας. Εφαρμογή: Κρυπτογραφία με τη μέθοδο
RSA και παραδείγματα.
8. Σχεδιασμός καμπυλών, εύρεση εφαπτομένων σε σημείο επί της καμπύλης και από
σημείο εκτός της καμπύλης. Σχολιασμός των προβλημάτων που ανακύπτουν με τη χρήση
της εντολής fsolve με δύο μεταβλητές και εναλλακτικές μέθοδοι.
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα -
Συνιστώμενα 222
Ευκλείδειες περιοχές
Περιοχές μονοσήμαντης ανάλυσης
Κατασκευή σωμάτων μέσω ευκλειδείων περιοχών
Πεπερασμένα σώματα
Κυκλοτομικά πολυώνυμα
Παραγοντοποίηση πολυωνύμων με συντελεστές από κάποιο πεπερασμένο σώμα
Στοιχεία θεωρίας κωδίκων
Διδακτικές Μονάδες 4
Διαλέξεις 4
Εργαστήρια-Φροντιστήρια -
Μονάδες ECTS 8
Προαπαιτούμενα 110
Συνιστώμενα 202
Περιεχόμενα:
Κεφ.Ι Κλασική Κρυπτογραφία, Μελέτη των κρυπτοσυστημάτων, μεταφοράς, αντικατάστασης,
αφινικό, Vigenere, Hill, μεταθέσεων καθώς και κρυπτοσυστημάτων ροής. Κρυπτοανάλυση
όλων των παραπάνω κρυπτοσυστημάτων
Κεφ.ΙΙ RSA και παραγοντοποίηση, κρυπτογραφία δημοσιοποιημένου κλειδιού. Το κρυπτοσύστημα
RSA. Κρυπτογράφηση, "επίθεση", κρυπτοανάλυση, αλγόριθμος παραγοντοποίησης.
Κεφ.ΙΙΙ Άλλα κρυπτοσυστήματα, δημοσιοποιημένου κλειδιού, το κρυπτοσύστημα El
Gamal και ο διακριτός λογάριθμος, πεπερασμένα σώματα, ελλειπτικές καμπύλες,
κρυπτοσύστημα ελλειπτικών καμπυλών, κρυπτοσυστήματα του σακιδίου (knapsack).
Κεφ.ΙV Υπογραφές (Signatures).